Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{7 x^{3}}{x^{3} - 3 x^{2} + 6 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$7 lim_{x \to 8} \frac{x^{3}}{x^{3} - 3 x^{2} + 6 x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$7 \frac{lim_{x \to 8} x^{3}}{lim_{x \to 8} x^{3} - 3 x^{2} + 6 x}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$7 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x^{3} - 3 x^{2} + 6 x}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$7 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} + lim_{x \to 8} 6 x}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$7 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} + lim_{x \to 8} 6 x}$

Schritt 6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$7 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 6 x}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$7 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 6 x}$

Schritt 8

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$7 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 8} x}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$7 \frac{8^{3}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 8} x}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$7 \frac{8^{3}}{8^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 8} x}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$7 \frac{8^{3}}{8^{3} - 3 \cdot 8^{2} + 6 lim_{x \to 8} x}$

Schritt 9.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$7 \frac{8^{3}}{8^{3} - 3 \cdot 8^{2} + 6 \cdot 8}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$7 \frac{512}{8^{3} - 3 \cdot 8^{2} + 6 \cdot 8}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$7 \frac{512}{512 - 3 \cdot 8^{2} + 6 \cdot 8}$

Schritt 10.2.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$7 \frac{512}{512 - 3 \cdot 64 + 6 \cdot 8}$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $64$ .

$7 \frac{512}{512 - 192 + 6 \cdot 8}$

Schritt 10.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$7 \frac{512}{512 - 192 + 48}$

Schritt 10.2.5

Subtrahiere $192$ von $512$ .

$7 \frac{512}{320 + 48}$

Schritt 10.2.6

Addiere $320$ und $48$ .

$7 (\frac{512}{368})$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $512$ und $368$ .

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $16$ aus $512$ heraus.

$7 \frac{16 (32)}{368}$

Schritt 10.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.2.1

Faktorisiere $16$ aus $368$ heraus.

$7 \frac{16 \cdot 32}{16 \cdot 23}$

Schritt 10.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{16 \cdot 32}{16 \cdot 23}$

Schritt 10.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$7 (\frac{32}{23})$

Schritt 10.4

Multipliziere $7 (\frac{32}{23})$ .

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Schritt 10.4.1

Kombiniere $7$ und $\frac{32}{23}$ .

$\frac{7 \cdot 32}{23}$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $32$ .

$\frac{224}{23}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{224}{23}$

Dezimalform:

$9.73913043 \dots$