Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (5 x)}{\sqrt{5 x}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (5 x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} 5 x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

Schritt 3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{lim_{x \to 8} 5 x}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{5 lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\ln (5 \cdot 8)}{\sqrt{5 lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\ln (5 \cdot 8)}{\sqrt{5 \cdot 8}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{5 \cdot 8}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{40}}$

Schritt 7.2.2

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{4 (10)}}$

Schritt 7.2.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{2^{2} \cdot 10}}$

Schritt 7.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 7.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 7.4.2

Bewege $\sqrt{10}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Schritt 7.4.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})}$

Schritt 7.4.4

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})}$

Schritt 7.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 7.4.7

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{1}}$

Schritt 7.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10}$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{20}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{20}$

Dezimalform:

$0.58326305 \dots$