Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x + \sin (x)}{2 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x + \sin (x)}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} - x + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} - lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} + 0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} + 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.5.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.5.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.2.5.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1 + \cos (x)}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $2 x - 1 + \cos (x)$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 2 x - 1 + \cos (x)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 3.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1 + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 + \cos (0))$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1 + \cos (0))$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1 + \cos (0))$

Schritt 5.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1 + 1)$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{1}{2} (- 1 + 1)$

Schritt 5.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$0$