Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{- 8 x}{\sqrt{36 x^{2} + 8}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $- 8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 8 lim_{x \to 8} \frac{x}{\sqrt{36 x^{2} + 8}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$- 8 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{36 x^{2} + 8}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- 8 \frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} 36 x^{2} + 8}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$- 8 \frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} 36 x^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $36$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 8 \frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{36 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- 8 \frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{36 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$- 8 \frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{36 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$- 8 \frac{8}{\sqrt{36 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$- 8 \frac{8}{\sqrt{36 \cdot 8^{2} + 8}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$- 8 \frac{8}{\sqrt{36 \cdot 64 + 8}}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $64$ .

$- 8 \frac{8}{\sqrt{2304 + 8}}$

Schritt 9.1.3

Addiere $2304$ und $8$ .

$- 8 \frac{8}{\sqrt{2312}}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $2312$ als $34^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $1156$ aus $2312$ heraus.

$- 8 \frac{8}{\sqrt{1156 (2)}}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $1156$ als $34^{2}$ um.

$- 8 \frac{8}{\sqrt{34^{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- 8 \frac{8}{34 \sqrt{2}}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$2 (- 4) \frac{8}{34 \sqrt{2}}$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $2$ aus $34 \sqrt{2}$ heraus.

$2 (- 4) \frac{8}{2 (17 \sqrt{2})}$

Schritt 9.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 4 \frac{8}{2 (17 \sqrt{2})}$

Schritt 9.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 4 \frac{8}{17 \sqrt{2}}$

Schritt 9.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{8}{17 \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 8}{17 \sqrt{2}}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$\frac{- 32}{17 \sqrt{2}}$

Schritt 9.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{32}{17 \sqrt{2}}$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $\frac{32}{17 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{32}{17 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 9.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.7.1

Mutltipliziere $\frac{32}{17 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 9.7.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 9.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 9.7.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 9.7.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.7.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 9.7.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.7.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.7.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.7.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.7.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.7.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.7.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 \cdot 2^{1}}$

Schritt 9.7.7.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 \cdot 2}$

Schritt 9.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32$ und $2$ .

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Schritt 9.8.1

Faktorisiere $2$ aus $32 \sqrt{2}$ heraus.

$- \frac{2 (16 \sqrt{2})}{17 \cdot 2}$

Schritt 9.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $17 \cdot 2$ heraus.

$- \frac{2 (16 \sqrt{2})}{2 \cdot 17}$

Schritt 9.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (16 \sqrt{2})}{2 \cdot 17}$

Schritt 9.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{16 \sqrt{2}}{17}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{16 \sqrt{2}}{17}$

Dezimalform:

$- 1.33102452 \dots$