Analysis Beispiele

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $θ$ sich $0$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Schritt 1.1.2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Schritt 1.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $θ$ sich $0$ annähert.

$\frac{\frac{1}{2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Schritt 1.1.2.1.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Schritt 1.1.2.1.7

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{2}$ , welcher konstant ist, wenn $θ$ sich $0$ annähert.

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $0$ für $θ$ .

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (0)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + 0} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Schritt 1.1.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 - 1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Schritt 1.1.2.3.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Schritt 1.1.2.3.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $0$ für $θ$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 1.1.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Schreibe $\frac{1}{2 + \sin (θ)}$ als ${(2 + \sin (θ))}^{- 1}$ um.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [{(2 + \sin (θ))}^{- 1}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = θ^{- 1}$ und $g (θ) = 2 + \sin (θ)$ .

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Schritt 1.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 + \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Schritt 1.3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Schritt 1.3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 + \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Schritt 1.3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + \sin (θ)$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Schritt 1.3.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $θ$ gleich $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Schritt 1.3.3.5

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \cos (θ)) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Schritt 1.3.3.6

Addiere $0$ und $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Schritt 1.3.4

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2}$ bezüglich $θ$ gleich $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Schritt 1.3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.5.2.1

Kombiniere $\cos (θ)$ und $\frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Schritt 1.3.5.2.2

Addiere $- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ und $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Schritt 1.3.6

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\cos (θ)}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (θ)}$ mit $\frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ .

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ)$ .

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Schritt 1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{θ \to 0} - \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$- lim_{θ \to 0} \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $θ$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Schritt 2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(2 + \sin (θ))}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ))}^{2}}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $θ$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{{(2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$- \frac{1}{{(2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ))}^{2}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $0$ für $θ$ .

$- \frac{1}{{(2 + \sin (0))}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- \frac{1}{{(2 + 0)}^{2}}$

Schritt 4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$- \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 4.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{4}$

Dezimalform:

$- 0.25$