Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} x \ln (1 + \frac{2}{x})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \frac{2}{x})$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + \frac{2}{x})$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \frac{2}{x})$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot \ln (1 + lim_{x \to 8} \frac{2}{x})$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$lim_{x \to 8} x \cdot \ln (1 + 2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot \ln (1 + 2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot \ln (1 + 2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8 \cdot \ln (1 + 2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8 \cdot \ln (1 + 2 (\frac{1}{8}))$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$8 \cdot \ln (1 + 2 \frac{1}{2 (4)})$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \cdot \ln (1 + 2 \frac{1}{2 \cdot 4})$

Schritt 9.1.3

Forme den Ausdruck um.

$8 \cdot \ln (1 + \frac{1}{4})$

Schritt 9.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$8 \cdot \ln (\frac{4}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 9.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 \cdot \ln (\frac{4 + 1}{4})$

Schritt 9.4

Addiere $4$ und $1$ .

$8 \ln (\frac{5}{4})$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$8 \ln (\frac{5}{4})$

Dezimalform:

$1.78514841 \dots$