Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} x \tan (\frac{π}{x})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \tan (\frac{π}{x})$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Schritt 3

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{8})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \tan (\frac{π}{8})$

Schritt 7.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{8})$ ist $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$8 \cdot \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Schritt 7.2.2

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})$

Schritt 7.2.3

Ändere $\pm$ zu $+$ weil der Tangens im 1. Quadranten positiv ist.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ .

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Schritt 7.2.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Schritt 7.2.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Schritt 7.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Schritt 7.2.4.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 7.2.4.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 7.2.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 7.2.4.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Schritt 7.2.4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.4.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Schritt 7.2.4.8.2

Forme den Ausdruck um.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Schritt 7.2.4.9

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Schritt 7.2.4.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Schritt 7.2.4.11

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Schritt 7.2.4.12

Vereinfache.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 7.2.4.13

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 7.2.4.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.4.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 7.2.4.14.2

Forme den Ausdruck um.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 7.2.4.15

Kombiniere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 7.2.4.16

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.4.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 7.2.4.16.2

Multipliziere $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Schritt 7.2.4.16.2.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 7.2.4.16.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

Schritt 7.2.4.16.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

Schritt 7.2.4.16.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

Schritt 7.2.4.16.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.4.16.3.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.2.4.16.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Schritt 7.2.4.16.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Schritt 7.2.4.16.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Schritt 7.2.4.16.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.4.16.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Schritt 7.2.4.16.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

Schritt 7.2.4.16.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 7.2.4.16.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

Schritt 7.2.4.16.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} - 2$ und $2$ .

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Schritt 7.2.4.16.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

Schritt 7.2.4.16.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

Schritt 7.2.4.16.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ heraus.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

Schritt 7.2.4.16.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.4.16.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

Schritt 7.2.4.16.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

Schritt 7.2.4.16.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

Schritt 7.2.4.16.4.4.4

Dividiere $\sqrt{2} - 1$ durch $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

Schritt 7.2.4.16.5

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

Schritt 7.2.4.16.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

Schritt 7.2.4.17

Addiere $2$ und $1$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Schritt 7.2.4.18

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Dezimalform:

$3.31370849 \dots$