Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} (x) (x - 4)}{3 x^{2} - 8 x - 16} + 4$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x - 4}{3 x^{2} - 8 x - 16} + 4$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 4)}{3 x^{2} - 8 x - 16} + 4$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4)}{3 x^{2} - 8 x - 16} + 4$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8 \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4)}{3 x^{2} - 8 x - 16} + 4$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8 \cdot (8 - 1 \cdot 4)}{3 x^{2} - 8 x - 16} + 4$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{8 \cdot (8 - 4)}{3 x^{2} - 8 x - 16} + 4$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$\frac{8 \cdot 4}{3 x^{2} - 8 x - 16} + 4$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$\frac{32}{3 x^{2} - 8 x - 16} + 4$

Schritt 5.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ und deren Summe gleich $b = - 8$ ist.

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{32}{3 x^{2} - 8 (x) - 16} + 4$

Schritt 5.4.1.2

Schreibe $- 8$ um als $4$ plus $- 12$

$\frac{32}{3 x^{2} + (4 - 12) x - 16} + 4$

Schritt 5.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{32}{3 x^{2} + 4 x - 12 x - 16} + 4$

Schritt 5.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{32}{(3 x^{2} + 4 x) - 12 x - 16} + 4$

Schritt 5.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{32}{x (3 x + 4) - 4 (3 x + 4)} + 4$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 4$ .

$\frac{32}{(3 x + 4) (x - 4)} + 4$