Analysis Beispiele

$6 x y + 1 = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (6 x y + 1) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x y + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x y$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 (x y' + y) + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x y') + 6 y + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $6 x y' + 6 y$ und $0$ .

$6 x y' + 6 y$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 x y' + 6 y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x y' = - 6 y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x y' = - 6 y$ durch $6 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x y' = - 6 y$ durch $6 x$ .

$\frac{6 x y'}{6 x} = \frac{- 6 y}{6 x}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x y'}{6 x} = \frac{- 6 y}{6 x}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 6 y}{6 x}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 6 y}{6 x}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 6 y}{6 x}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $6$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 y$ heraus.

$y' = \frac{6 (- y)}{6 x}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$y' = \frac{6 (- y)}{6 (x)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{6 (- y)}{6 x}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y}{x}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$