Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}}{x^{2} - 2 x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} + lim_{x \to 2} 3 x^{3} - lim_{x \to 2} 10 x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + lim_{x \to 2} 3 x^{3} - lim_{x \to 2} 10 x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 10 x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 10 x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.2.5

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 2} x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.2.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 10 {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{4} + 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 10 {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{4} + 3 \cdot 2^{3} - 10 {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.2.7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{4} + 3 \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.8.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{16 + 3 \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.2.8.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{16 + 3 \cdot 8 - 10 \cdot 2^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.2.8.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{16 + 24 - 10 \cdot 2^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.2.8.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{16 + 24 - 10 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.2.8.1.5

Mutltipliziere $- 10$ mit $4$ .

$\frac{16 + 24 - 40}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.2.8.2

Addiere $16$ und $24$ .

$\frac{40 - 40}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.2.8.3

Subtrahiere $40$ von $40$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 2 x}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 2 x}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 2 lim_{x \to 2} x}$

Schritt 1.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{4 - 2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.5.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Schritt 1.1.3.5.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}}{x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Schritt 1.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.5.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Schritt 1.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 10 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Schritt 1.3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{2 x - 2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.8.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{2 x - 2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} 4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} 9 x^{2} - lim_{x \to 2} 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 9 x^{2} - lim_{x \to 2} 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Schritt 2.4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 9 x^{2} - lim_{x \to 2} 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Schritt 2.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Schritt 2.7

Ziehe den Term $20$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Schritt 2.8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 2}$

Schritt 2.9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Schritt 2.10

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2$ und $2 \cdot 2 - 1 \cdot 2$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{- (- 2 \cdot 2) - 1 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 2$ heraus.

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{- (- 2 \cdot 2) - 1 (2)}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 2 \cdot 2) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{- (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- (- 2 \cdot 2 + 2)$ als $- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)$ um.

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $4 \cdot 2^{3}$ heraus.

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $2$ aus $9 \cdot 2^{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (9 \cdot 2) - 20 \cdot 2}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Schritt 4.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (9 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 20 \cdot 2}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Schritt 4.1.8

Faktorisiere $2$ aus $- 20 \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) + 2 (- 10 \cdot 2)}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Schritt 4.1.9

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) + 2 (- 10 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2)}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Schritt 4.1.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)$ heraus.

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2)}{2 (- 1 (- 1 \cdot 2 + 1))}$

Schritt 4.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2)}{2 (- 1 (- 1 \cdot 2 + 1))}$

Schritt 4.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $2$ mit $2^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2^{1 + 3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{2^{4} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{16 + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{16 + 18 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $2$ .

$\frac{16 + 18 - 20}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Schritt 4.2.5

Addiere $16$ und $18$ .

$\frac{34 - 20}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Schritt 4.2.6

Subtrahiere $20$ von $34$ .

$\frac{14}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{14}{- 1 (- 2 + 1)}$

Schritt 4.3.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$\frac{14}{- 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{14}{1}$

Schritt 4.5

Dividiere $14$ durch $1$ .

$14$