Analysis Beispiele

$9 x e^{- k x}$

Schritt 1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x e^{- k x}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x e^{- k x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x e^{- k x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- k x}$ .

$9 (x \frac{d}{d x} [e^{- k x}] + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - k x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- k x$ .

$9 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$9 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $- k x$ .

$9 (x (e^{- k x} \frac{d}{d x} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- k$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- k x$ nach $x$ gleich $- k \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (x (e^{- k x} (- k \frac{d}{d x} [x])) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 (x (e^{- k x} (- k \cdot 1)) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$9 (x (e^{- k x} (- k)) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 (x (e^{- k x} (- k)) + e^{- k x} \cdot 1)$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $e^{- k x}$ mit $1$ .

$9 (x (e^{- k x} (- k)) + e^{- k x})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (x (e^{- k x} (- k))) + 9 e^{- k x}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 9 x (e^{- k x} (k)) + 9 e^{- k x}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$- 9 e^{- k x} k x + 9 e^{- k x}$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren in $- 9 e^{- k x} k x + 9 e^{- k x}$ um.

$- 9 k x e^{- k x} + 9 e^{- k x}$