Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt{x^{10} - 1}}{x^{8} - 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{10} - 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{10} - 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{10} - lim_{x \to - 8} 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $10$ von $x^{10}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - lim_{x \to - 8} 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - lim_{x \to - 8} 1}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $8$ von $x^{8}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{8} - lim_{x \to - 8} 1}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{{(- 8)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{{(- 8)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $- 8$ mit $10$ .

$\frac{\sqrt{1073741824 - 1 \cdot 1}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{1073741824 - 1}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Schritt 10.1.3

Subtrahiere $1$ von $1073741824$ .

$\frac{\sqrt{1073741823}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Schritt 10.1.4

Schreibe $1073741823$ als $3^{2} \cdot 119304647$ um.

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Schritt 10.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $1073741823$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (119304647)}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Schritt 10.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 119304647}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Schritt 10.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Potenziere $- 8$ mit $8$ .

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{16777216 - 1 \cdot 1}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{16777216 - 1}$

Schritt 10.2.3

Subtrahiere $1$ von $16777216$ .

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{16777215}$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $16777215$ .

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{119304647}$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{119304647})}{16777215}$

Schritt 10.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $16777215$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{3 \cdot 5592405}$

Schritt 10.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{3 \cdot 5592405}$

Schritt 10.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{119304647}}{5592405}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{119304647}}{5592405}$

Dezimalform:

$0.00195312 \dots$