Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{2 x - 6}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} - 9}}{lim_{x \to - 8} 2 x - 6}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{2} - 9}}{lim_{x \to - 8} 2 x - 6}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{2} - lim_{x \to - 8} 9}}{lim_{x \to - 8} 2 x - 6}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - lim_{x \to - 8} 9}}{lim_{x \to - 8} 2 x - 6}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 9}}{lim_{x \to - 8} 2 x - 6}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 9}}{lim_{x \to - 8} 2 x - lim_{x \to - 8} 6}$

Schritt 7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 9}}{2 lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 6}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 9}}{2 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 6}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 9}}{2 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 6}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot - 8 - 1 \cdot 6}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 1 \cdot 9}}{2 \cdot - 8 - 1 \cdot 6}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{\sqrt{64 - 9}}{2 \cdot - 8 - 1 \cdot 6}$

Schritt 10.1.3

Subtrahiere $9$ von $64$ .

$\frac{\sqrt{55}}{2 \cdot - 8 - 1 \cdot 6}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{\sqrt{55}}{- 16 - 1 \cdot 6}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{55}}{- 16 - 6}$

Schritt 10.2.3

Subtrahiere $6$ von $- 16$ .

$\frac{\sqrt{55}}{- 22}$

Schritt 10.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{55}}{22}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{55}}{22}$

Dezimalform:

$- 0.33709993 \dots$