Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} {(\frac{x^{2} + x - 1}{8 x^{2} - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Ziehe den Exponenten $\frac{1}{3}$ von ${(\frac{x^{2} + x - 1}{8 x^{2} - 3})}^{\frac{1}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to - 8} \frac{x^{2} + x - 1}{8 x^{2} - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

${(\frac{lim_{x \to - 8} x^{2} + x - 1}{lim_{x \to - 8} 8 x^{2} - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

${(\frac{lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} 8 x^{2} - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} 8 x^{2} - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

${(\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 8} 8 x^{2} - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

${(\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 8} 8 x^{2} - lim_{x \to - 8} 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{8 lim_{x \to - 8} x^{2} - lim_{x \to - 8} 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{8 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - lim_{x \to - 8} 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

${(\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{8 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

${(\frac{{(- 8)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{8 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

${(\frac{{(- 8)}^{2} - 8 - 1 \cdot 1}{8 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

${(\frac{{(- 8)}^{2} - 8 - 1 \cdot 1}{8 {(- 8)}^{2} - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

${(\frac{64 - 8 - 1 \cdot 1}{8 {(- 8)}^{2} - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(\frac{64 - 8 - 1}{8 {(- 8)}^{2} - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.1.3

Subtrahiere $8$ von $64$ .

${(\frac{56 - 1}{8 {(- 8)}^{2} - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.1.4

Subtrahiere $1$ von $56$ .

${(\frac{55}{8 {(- 8)}^{2} - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

${(\frac{55}{8 \cdot 64 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $64$ .

${(\frac{55}{512 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

${(\frac{55}{512 - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.4

Subtrahiere $3$ von $512$ .

${(\frac{55}{509})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.3

Wende die Produktregel auf $\frac{55}{509}$ an.

$\frac{55^{\frac{1}{3}}}{509^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{55^{\frac{1}{3}}}{509^{\frac{1}{3}}}$

Dezimalform:

$0.47630115 \dots$