Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{\sqrt{x^{4} - 1}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 3 x - 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} - 1}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 1}}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 1}}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 64 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{128 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 12.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$\frac{128 - 24 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{128 - 24 - 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 12.1.5

Subtrahiere $24$ von $128$ .

$\frac{104 - 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 12.1.6

Subtrahiere $6$ von $104$ .

$\frac{98}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{98}{\sqrt{4096 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{98}{\sqrt{4096 - 1}}$

Schritt 12.2.3

Subtrahiere $1$ von $4096$ .

$\frac{98}{\sqrt{4095}}$

Schritt 12.2.4

Schreibe $4095$ als $3^{2} \cdot 455$ um.

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Schritt 12.2.4.1

Faktorisiere $9$ aus $4095$ heraus.

$\frac{98}{\sqrt{9 (455)}}$

Schritt 12.2.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{98}{\sqrt{3^{2} \cdot 455}}$

Schritt 12.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{98}{3 \sqrt{455}}$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $\frac{98}{3 \sqrt{455}}$ mit $\frac{\sqrt{455}}{\sqrt{455}}$ .

$\frac{98}{3 \sqrt{455}} \cdot \frac{\sqrt{455}}{\sqrt{455}}$

Schritt 12.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.4.1

Mutltipliziere $\frac{98}{3 \sqrt{455}}$ mit $\frac{\sqrt{455}}{\sqrt{455}}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \sqrt{455} \sqrt{455}}$

Schritt 12.4.2

Bewege $\sqrt{455}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 (\sqrt{455} \sqrt{455})}$

Schritt 12.4.3

Potenziere $\sqrt{455}$ mit $1$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 ({\sqrt{455}}^{1} \sqrt{455})}$

Schritt 12.4.4

Potenziere $\sqrt{455}$ mit $1$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 ({\sqrt{455}}^{1} {\sqrt{455}}^{1})}$

Schritt 12.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 {\sqrt{455}}^{1 + 1}}$

Schritt 12.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 {\sqrt{455}}^{2}}$

Schritt 12.4.7

Schreibe ${\sqrt{455}}^{2}$ als $455$ um.

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Schritt 12.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{455}$ als $455^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 {(455^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 12.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{1}}$

Schritt 12.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455}$

Schritt 12.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $98$ und $455$ .

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Schritt 12.5.1

Faktorisiere $7$ aus $98 \sqrt{455}$ heraus.

$\frac{7 (14 \sqrt{455})}{3 \cdot 455}$

Schritt 12.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.5.2.1

Faktorisiere $7$ aus $3 \cdot 455$ heraus.

$\frac{7 (14 \sqrt{455})}{7 (3 \cdot 65)}$

Schritt 12.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 (14 \sqrt{455})}{7 (3 \cdot 65)}$

Schritt 12.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14 \sqrt{455}}{3 \cdot 65}$

Schritt 12.6

Mutltipliziere $3$ mit $65$ .

$\frac{14 \sqrt{455}}{195}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{14 \sqrt{455}}{195}$

Dezimalform:

$1.53143695 \dots$