Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 16}}{2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 64 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $64$ .

$\frac{\sqrt{576 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Schritt 14.1.3

Addiere $576$ und $16$ .

$\frac{\sqrt{592}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Schritt 14.1.4

Schreibe $592$ als $4^{2} \cdot 37$ um.

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Schritt 14.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $592$ heraus.

$\frac{\sqrt{16 (37)}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Schritt 14.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Schritt 14.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{512 + 1}}$

Schritt 14.2.2

Addiere $512$ und $1$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{513}}$

Schritt 14.2.3

Schreibe $513$ als $3^{2} \cdot 57$ um.

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Schritt 14.2.3.1

Faktorisiere $9$ aus $513$ heraus.

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{9 (57)}}$

Schritt 14.2.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{3^{2} \cdot 57}}$

Schritt 14.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ mit $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}} \cdot \frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$

Schritt 14.4

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ mit $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{(2 + 3 \sqrt{57}) (2 - 3 \sqrt{57})}$

Schritt 14.5

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{4 - 6 \sqrt{57} + 6 \sqrt{57} - 9 {\sqrt{57}}^{2}}$

Schritt 14.6

Vereinfache.

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{- 509}$

Schritt 14.7

Gruppiere $2 - 3 \sqrt{57}$ und $\sqrt{37}$ .

$\frac{4 ((2 - 3 \sqrt{57}) \sqrt{37})}{- 509}$

Schritt 14.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{57} \sqrt{37})}{- 509}$

Schritt 14.9

Multipliziere $- 3 \sqrt{57} \sqrt{37}$ .

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Schritt 14.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{37 \cdot 57})}{- 509}$

Schritt 14.9.2

Mutltipliziere $37$ mit $57$ .

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{- 509}$

Schritt 14.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

Dezimalform:

$0.98708074 \dots$