Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{3 x - 2 x^{2} + 4 x^{3}}{7 - 2 x - x^{3}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x - 2 x^{2} + 4 x^{3}}{lim_{x \to 8} 7 - 2 x - x^{3}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 2 x^{2} + lim_{x \to 8} 4 x^{3}}{lim_{x \to 8} 7 - 2 x - x^{3}}$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2 x^{2} + lim_{x \to 8} 4 x^{3}}{lim_{x \to 8} 7 - 2 x - x^{3}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 8} x - 2 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 4 x^{3}}{lim_{x \to 8} 7 - 2 x - x^{3}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 lim_{x \to 8} x - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 4 x^{3}}{lim_{x \to 8} 7 - 2 x - x^{3}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 8} x - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 8} x^{3}}{lim_{x \to 8} 7 - 2 x - x^{3}}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 lim_{x \to 8} x - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} 7 - 2 x - x^{3}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3 lim_{x \to 8} x - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} 7 - lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} x^{3}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{3 lim_{x \to 8} x - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{7 - lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} x^{3}}$

Schritt 10

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 8} x - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{7 - 2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x^{3}}$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 lim_{x \to 8} x - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{7 - 2 lim_{x \to 8} x - {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 12.1