Analysis Beispiele

$lim_{x \to 64} \frac{\sqrt{x} - 8}{\sqrt[3]{x} - 4}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 64} \sqrt{x} - 8}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $64$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 64} \sqrt{x} - lim_{x \to 64} 8}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Schritt 1.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 64} x} - lim_{x \to 64} 8}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $64$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 64} x} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $64$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{64} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{8^{2}} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $64$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 64} 4}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 64} x} - lim_{x \to 64} 4}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $64$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 64} x} - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $64$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{64} - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$\frac{0}{\sqrt[3]{4^{3}} - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 64} \frac{\sqrt{x} - 8}{\sqrt[3]{x} - 4} = lim_{x \to 64} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x} - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Schritt 1.3.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Schritt 1.3.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Schritt 1.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Schritt 1.3.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Schritt 1.3.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Schritt 1.3.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Schritt 1.3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Schritt 1.3.5.2.2

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt[3]{x} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.7.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.7.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.7.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.7.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0}$

Schritt 1.3.9

Vereinfache.

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Schritt 1.3.9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0}$

Schritt 1.3.9.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}$

Schritt 1.3.9.2.2

Addiere $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 64} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 64} \frac{1}{2 \sqrt{x}} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.6

Vereinige Faktoren.

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Schritt 1.6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{3}{2 \sqrt{x}} x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.6.2

Kombiniere $\frac{3}{2 \sqrt{x}}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{3}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{2} lim_{x \to 64} \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{x}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $64$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 64} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 64} \sqrt{x}}$

Schritt 2.3

Ziehe den Exponenten $\frac{2}{3}$ von $x^{\frac{2}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 64} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 64} \sqrt{x}}$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 64} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{lim_{x \to 64} x}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $64$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $64$ für $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{64^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{lim_{x \to 64} x}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $64$ für $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{64^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{64}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

$\frac{3 \cdot 64^{\frac{2}{3}}}{2 \sqrt{64}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$\frac{3 \cdot {(4^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2 \sqrt{64}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{3 (\frac{2}{3})}}{2 \sqrt{64}}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4^{3 (\frac{2}{3})}}{2 \sqrt{64}}$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 4^{2}}{2 \sqrt{64}}$

Schritt 4.2.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{3 \cdot 16}{2 \sqrt{64}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{3 \cdot 16}{2 \sqrt{8^{2}}}$

Schritt 4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 \cdot 16}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$\frac{48}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{48}{16}$

Schritt 4.6

Dividiere $48$ durch $16$ .

$3$