Analysis Beispiele

$lim_{u \to 3} \frac{u^{3} - 27}{u^{4} - 81}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{u \to 3} u^{3} - 27}{lim_{u \to 3} u^{4} - 81}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $u$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{u \to 3} u^{3} - lim_{u \to 3} 27}{lim_{u \to 3} u^{4} - 81}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $u^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{u \to 3} u)}^{3} - lim_{u \to 3} 27}{lim_{u \to 3} u^{4} - 81}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $27$ , welcher konstant ist, wenn $u$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{u \to 3} u)}^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{u \to 3} u^{4} - 81}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $u$ durch Einsetzen von $3$ für $u$ .

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{u \to 3} u^{4} - 81}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{27 - 1 \cdot 27}{lim_{u \to 3} u^{4} - 81}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$\frac{27 - 27}{lim_{u \to 3} u^{4} - 81}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $27$ von $27$ .

$\frac{0}{lim_{u \to 3} u^{4} - 81}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $u$ sich an $3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{u \to 3} u^{4} - lim_{u \to 3} 81}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $4$ von $u^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{u \to 3} u)}^{4} - lim_{u \to 3} 81}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $81$ , welcher konstant ist, wenn $u$ sich $3$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{u \to 3} u)}^{4} - 1 \cdot 81}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $u$ durch Einsetzen von $3$ für $u$ .

$\frac{0}{3^{4} - 1 \cdot 81}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{0}{81 - 1 \cdot 81}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$\frac{0}{81 - 81}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $81$ von $81$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{u \to 3} \frac{u^{3} - 27}{u^{4} - 81} = lim_{u \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3} - 27]}{\frac{d}{d u} [u^{4} - 81]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{u \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3} - 27]}{\frac{d}{d u} [u^{4} - 81]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u^{3} - 27$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [- 27]$ .

$lim_{u \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [- 27]}{\frac{d}{d u} [u^{4} - 81]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{u \to 3} \frac{3 u^{2} + \frac{d}{d u} [- 27]}{\frac{d}{d u} [u^{4} - 81]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 27$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- 27$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$lim_{u \to 3} \frac{3 u^{2} + 0}{\frac{d}{d u} [u^{4} - 81]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $3 u^{2}$ und $0$ .

$lim_{u \to 3} \frac{3 u^{2}}{\frac{d}{d u} [u^{4} - 81]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u^{4} - 81$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u^{4}] + \frac{d}{d u} [- 81]$ .

$lim_{u \to 3} \frac{3 u^{2}}{\frac{d}{d u} [u^{4}] + \frac{d}{d u} [- 81]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$lim_{u \to 3} \frac{3 u^{2}}{4 u^{3} + \frac{d}{d u} [- 81]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 81$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- 81$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$lim_{u \to 3} \frac{3 u^{2}}{4 u^{3} + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $4 u^{3}$ und $0$ .

$lim_{u \to 3} \frac{3 u^{2}}{4 u^{3}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $u^{2}$ und $u^{3}$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $u^{2}$ aus $3 u^{2}$ heraus.

$lim_{u \to 3} \frac{u^{2} \cdot 3}{4 u^{3}}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $u^{2}$ aus $4 u^{3}$ heraus.

$lim_{u \to 3} \frac{u^{2} \cdot 3}{u^{2} (4 u)}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{u \to 3} \frac{u^{2} \cdot 3}{u^{2} (4 u)}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{u \to 3} \frac{3}{4 u}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{3}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $u$ ist.

$\frac{3}{4} lim_{u \to 3} \frac{1}{u}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $u$ sich an $3$ annähert.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{lim_{u \to 3} 1}{lim_{u \to 3} u}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $u$ sich $3$ annähert.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{lim_{u \to 3} u}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $u$ durch Einsetzen von $3$ für $u$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{4}$

Dezimalform:

$0.25$