Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} 2 x + \sqrt{4 x^{2} + 2 x - 4}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$lim_{x \to - 8} 2 x + lim_{x \to - 8} \sqrt{4 x^{2} + 2 x - 4}$

Schritt 2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} \sqrt{4 x^{2} + 2 x - 4}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$2 lim_{x \to - 8} x + \sqrt{lim_{x \to - 8} 4 x^{2} + 2 x - 4}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$2 lim_{x \to - 8} x + \sqrt{lim_{x \to - 8} 4 x^{2} + lim_{x \to - 8} 2 x - lim_{x \to - 8} 4}$

Schritt 5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to - 8} x + \sqrt{4 lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 2 x - lim_{x \to - 8} 4}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 lim_{x \to - 8} x + \sqrt{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 2 x - lim_{x \to - 8} 4}$

Schritt 7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to - 8} x + \sqrt{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 4}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$2 lim_{x \to - 8} x + \sqrt{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$2 \cdot - 8 + \sqrt{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$2 \cdot - 8 + \sqrt{4 {(- 8)}^{2} + 2 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$2 \cdot - 8 + \sqrt{4 {(- 8)}^{2} + 2 \cdot - 8 - 1 \cdot 4}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$- 16 + \sqrt{4 {(- 8)}^{2} + 2 \cdot - 8 - 1 \cdot 4}$

Schritt 10.2

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$- 16 + \sqrt{4 \cdot 64 + 2 \cdot - 8 - 1 \cdot 4}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$- 16 + \sqrt{256 + 2 \cdot - 8 - 1 \cdot 4}$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$- 16 + \sqrt{256 - 16 - 1 \cdot 4}$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 16 + \sqrt{256 - 16 - 4}$

Schritt 10.6

Subtrahiere $16$ von $256$ .

$- 16 + \sqrt{240 - 4}$

Schritt 10.7

Subtrahiere $4$ von $240$ .

$- 16 + \sqrt{236}$

Schritt 10.8

Schreibe $236$ als $2^{2} \cdot 59$ um.

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Schritt 10.8.1

Faktorisiere $4$ aus $236$ heraus.

$- 16 + \sqrt{4 (59)}$

Schritt 10.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 16 + \sqrt{2^{2} \cdot 59}$

Schritt 10.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- 16 + 2 \sqrt{59}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 16 + 2 \sqrt{59}$

Dezimalform:

$- 0.63770850 \dots$