Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} 3 x - \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} - lim_{x \to 8} 4 x + lim_{x \to 8} 4}$

Schritt 5

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 4 x + lim_{x \to 8} 4}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 4 x + lim_{x \to 8} 4}$

Schritt 7

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 4}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 8} x + 4}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$3 \cdot 8 - \sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 8} x + 4}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$3 \cdot 8 - \sqrt{9 \cdot 8^{2} - 4 lim_{x \to 8} x + 4}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$3 \cdot 8 - \sqrt{9 \cdot 8^{2} - 4 \cdot 8 + 4}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$24 - \sqrt{9 \cdot 8^{2} - 4 \cdot 8 + 4}$

Schritt 10.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$24 - \sqrt{9 \cdot 64 - 4 \cdot 8 + 4}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $9$ mit $64$ .

$24 - \sqrt{576 - 4 \cdot 8 + 4}$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$24 - \sqrt{576 - 32 + 4}$

Schritt 10.5

Subtrahiere $32$ von $576$ .

$24 - \sqrt{544 + 4}$

Schritt 10.6

Addiere $544$ und $4$ .

$24 - \sqrt{548}$

Schritt 10.7

Schreibe $548$ als $2^{2} \cdot 137$ um.

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Schritt 10.7.1

Faktorisiere $4$ aus $548$ heraus.

$24 - \sqrt{4 (137)}$

Schritt 10.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$24 - \sqrt{2^{2} \cdot 137}$

Schritt 10.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$24 - (2 \sqrt{137})$

Schritt 10.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$24 - 2 \sqrt{137}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$24 - 2 \sqrt{137}$

Dezimalform:

$0.59060017 \dots$