Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{10 + 8 x^{2}}}{2 + 3 x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{10 + 8 x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 + 3 x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 10 + 8 x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 + 3 x}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 10 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 + 3 x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{10 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 + 3 x}$

Schritt 5

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{10 + 8 lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 + 3 x}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{10 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 + 3 x}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{10 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} 3 x}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{10 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 + lim_{x \to 8} 3 x}$

Schritt 9

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{10 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 + 3 lim_{x \to 8} x}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{10 + 8 \cdot 8^{2}}}{2 + 3 lim_{x \to 8} x}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{10 + 8 \cdot 8^{2}}}{2 + 3 \cdot 8}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Multipliziere $8$ mit $8^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1.1.1

Potenziere $8$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{10 + 8^{1} \cdot 8^{2}}}{2 + 3 \cdot 8}$

Schritt 11.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{10 + 8^{1 + 2}}}{2 + 3 \cdot 8}$

Schritt 11.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{10 + 8^{3}}}{2 + 3 \cdot 8}$

Schritt 11.1.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{10 + 512}}{2 + 3 \cdot 8}$

Schritt 11.1.3

Addiere $10$ und $512$ .

$\frac{\sqrt{522}}{2 + 3 \cdot 8}$

Schritt 11.1.4

Schreibe $522$ als $3^{2} \cdot 58$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $522$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (58)}}{2 + 3 \cdot 8}$

Schritt 11.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 58}}{2 + 3 \cdot 8}$

Schritt 11.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{58}}{2 + 3 \cdot 8}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{3 \sqrt{58}}{2 + 24}$

Schritt 11.2.2

Addiere $2$ und $24$ .

$\frac{3 \sqrt{58}}{26}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 \sqrt{58}}{26}$

Dezimalform:

$0.87874305 \dots$