Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} + 1}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 1}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 1}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8}{\sqrt{4 \cdot 8^{2} + 1}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{8}{\sqrt{4 \cdot 64 + 1}}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$\frac{8}{\sqrt{256 + 1}}$

Schritt 8.1.3

Addiere $256$ und $1$ .

$\frac{8}{\sqrt{257}}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{257}}$ mit $\frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{257}} \cdot \frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$

Schritt 8.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{257}}$ mit $\frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{\sqrt{257} \sqrt{257}}$

Schritt 8.3.2

Potenziere $\sqrt{257}$ mit $1$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1} \sqrt{257}}$

Schritt 8.3.3

Potenziere $\sqrt{257}$ mit $1$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1} {\sqrt{257}}^{1}}$

Schritt 8.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{2}}$

Schritt 8.3.6

Schreibe ${\sqrt{257}}^{2}$ als $257$ um.

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Schritt 8.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{257}$ als $257^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{8 \sqrt{257}}{{(257^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{257^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{257^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \sqrt{257}}{257^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 \sqrt{257}}{257^{1}}$

Schritt 8.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{8 \sqrt{257}}{257}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{8 \sqrt{257}}{257}$

Dezimalform:

$0.49902628 \dots$