Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \ln (| \frac{2}{x} - e^{4} |)$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (lim_{x \to - \infty} | \frac{2}{x} - e^{4} |)$

Schritt 1.2

Bringe den Limes zwischen die Absolutwert-Zeichen.

$\ln (| lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} - e^{4} |)$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\ln (| lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to - \infty} e^{4} |)$

Schritt 1.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\ln (| 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to - \infty} e^{4} |)$

Schritt 2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\ln (| 2 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} e^{4} |)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $e^{4}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\ln (| 2 \cdot 0 - e^{4} |)$

Schritt 3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\ln (| 0 - e^{4} |)$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $e^{4}$ von $0$ .

$\ln (| - e^{4} |)$

Schritt 3.2.3

$- e^{4}$ ist ungefähr $- 54.59815003$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- e^{4}$ um und entferne den Absolutwert

$\ln (e^{4})$

Schritt 3.2.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $4$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$4 \ln (e)$

Schritt 3.2.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$