Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} \frac{e^{x} - 2 x}{4 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 8} \frac{e^{x} - 2 x}{x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 8} e^{x} - 2 x}{lim_{x \to - 8} x}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} 2 x}{lim_{x \to - 8} x}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} 2 x}{lim_{x \to - 8} x}$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to - 8} x} - 2 lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} x}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{- 8} - 2 lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} x}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{- 8} - 2 \cdot - 8}{lim_{x \to - 8} x}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{- 8} - 2 \cdot - 8}{- 8}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{1}{e^{8}} - 2 \cdot - 8}{- 8}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 8$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{1}{e^{8}} + 16}{- 8}$

Schritt 7.1.3

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{1}{e^{8}} + \frac{16 e^{8}}{e^{8}}}{- 8}$

Schritt 7.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8}}}{- 8}$

Schritt 7.2

Kombinieren.

$\frac{1 \frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8}}}{4 \cdot - 8}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8}}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8}}}{4 \cdot - 8}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$\frac{\frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8}}}{- 32}$

Schritt 7.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8}} \cdot \frac{1}{- 32}$

Schritt 7.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8}} (- \frac{1}{32})$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $\frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8}}$ mit $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8} \cdot 32}$

Schritt 7.8

Bringe $32$ auf die linke Seite von $e^{8}$ .

$- \frac{1 + 16 e^{8}}{32 e^{8}}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1 + 16 e^{8}}{32 e^{8}}$

Dezimalform:

$- 0.50001048 \dots$