Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \sqrt{4 x^{2} + 3 x} + 2 x$

Schritt 1

Multipliziere, um den Zähler zu rationalisieren.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{4 x^{2} + 3 x} + 2 x) (\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x)}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler unter Verwendung der FOIL-Methode aus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{{\sqrt{4 x^{2} + 3 x}}^{2} + \sqrt{4 x^{2} + 3 x} (- 2 x) + \sqrt{4 x^{2} + 3 x} (2 x) - 4 x^{2}}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 0}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Schritt 2.2.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2} + 3 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x) + 3 x} - 2 x}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x) + x \cdot 3} - 2 x}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x) + x \cdot 3$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x + 3)} - 2 x}$

Schritt 3.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x (4 x + 3)} - 2 x}$

Schritt 4

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = - \sqrt{x^{2}}$ ist.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} - 2}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x \cdot x}} - 2}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x \cdot x}} - 2}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$3 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$3 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Schritt 7.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$3 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Schritt 7.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 3}{x}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Schritt 8

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Schritt 9.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Schritt 9.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Schritt 9.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Schritt 9.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Schritt 9.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Schritt 10

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{1}} - 1 \cdot 2}$

Schritt 11.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.3.1

Dividiere $4 + 3 \cdot 0$ durch $1$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0} - 1 \cdot 2}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4 + 0} - 1 \cdot 2}$

Schritt 11.3.2.2

Addiere $4$ und $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

Schritt 11.3.2.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$3 \frac{1}{- \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

Schritt 11.3.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3 \frac{1}{- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 11.3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 \frac{1}{- 2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 11.3.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 \frac{1}{- 2 - 2}$

Schritt 11.3.2.7

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$3 (\frac{1}{- 4})$

Schritt 11.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (- \frac{1}{4})$

Schritt 11.3.4

Multipliziere $3 (- \frac{1}{4})$ .

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Schritt 11.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 (\frac{1}{4})$

Schritt 11.3.4.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4}$

Schritt 11.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{4}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{3}{4}$

Dezimalform:

$- 0.75$