Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 5}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 6 x + 5}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 6 x + lim_{x \to 3} 5}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 6 x + lim_{x \to 3} 5}$

Schritt 4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 5}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 3} x + 5}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\sqrt{3^{2} + 6 lim_{x \to 3} x + 5}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\sqrt{3^{2} + 6 \cdot 3 + 5}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{9 + 6 \cdot 3 + 5}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\sqrt{9 + 18 + 5}$

Schritt 7.3

Addiere $9$ und $18$ .

$\sqrt{27 + 5}$

Schritt 7.4

Addiere $27$ und $5$ .

$\sqrt{32}$

Schritt 7.5

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$\sqrt{16 (2)}$

Schritt 7.5.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Schritt 7.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$4 \sqrt{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$4 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$5.65685424 \dots$