Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} - 1}{4^{x} - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 4^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 4^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{4^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{4^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{4^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{4^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{4^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{4^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{4^{0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} - 1}{4^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4^{2 x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4^{2 x}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 4^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4^{u} \ln (4) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} \ln (4) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} \ln (4) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} \ln (4) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} \ln (4) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{2 x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.6

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{2})}^{2 x}$ .

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Schritt 1.3.3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 2^{2 (2 x)} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 2^{4 x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4) + 0}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $2^{1 + 4 x} \ln (4)$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4^{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{4^{x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{4^{x} \ln (4) + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $4^{x} \ln (4)$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{4^{x} \ln (4)}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{4^{x} \ln (4)}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x}}{4^{x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{1 + 4 x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

Schritt 2.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{2^{lim_{x \to 0} 1 + 4 x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{2^{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 4 x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{2^{1 + lim_{x \to 0} 4 x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2^{1 + 4 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{2^{1 + 4 lim_{x \to 0} x}}{4^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2^{1 + 4 \cdot 0}}{4^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2^{1 + 4 \cdot 0}}{4^{0}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{2^{1 + 0}}{4^{0}}$

Schritt 4.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2^{1}}{4^{0}}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{4^{0}}$

Schritt 4.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{2}{1}$

Schritt 4.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$