Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 3$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.6.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.1.6.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1.6.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6.3.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ .

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Schritt 2.1.1.6.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.6.3.2.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Schritt 2.1.2.2

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 3)}^{2}$ mit $1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Schritt 2.1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 3$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 3$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.2

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ heraus.

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Schritt 2.1.2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus ${(x^{2} + 3)}^{2}$ heraus.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ heraus.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ heraus.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.1.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus ${(x^{2} + 3)}^{4}$ heraus.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.14

Addiere $1$ und $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$6 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.16

Kombiniere $6$ und $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.17

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.17.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.17.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.17.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 18 x^{2} + 18 = 0$

Schritt 2.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 18 x^{2} = - 18$

Schritt 2.2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 18 x^{2} = - 18$ durch $- 18$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 18 x^{2} = - 18$ durch $- 18$ .

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

Schritt 2.2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 18$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

Schritt 2.2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{- 18}$

Schritt 2.2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.2.3.1

Dividiere $- 18$ durch $- 18$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 2.2.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.2.3.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 2.2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 2.2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 2.2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ .

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 3$

Schritt 3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 18 {(- 4)}^{2} + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 18 \cdot 16 + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 18$ mit $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 288 + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $- 288$ und $18$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{{(16 + 3)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $16$ und $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{19^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $19$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{6859}$

Schritt 5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 4) = - \frac{270}{6859}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{270}{6859}$ .

$- \frac{270}{6859}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 1)$ konkav, weil $f'' (- 4)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 1, 1)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 18 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 18 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 18$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $0$ und $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 3)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0$ und $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{3^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{27}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $27$ .

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{27}$

Schritt 6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = \frac{2}{3}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- 1, 1)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 1, 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = \frac{- 18 {(4)}^{2} + 18}{{({(4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 18 \cdot 16 + 18}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 18$ mit $16$ .

$f'' (4) = \frac{- 288 + 18}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.3

Addiere $- 288$ und $18$ .

$f'' (4) = \frac{- 270}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 270}{{(16 + 3)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $16$ und $3$ .

$f'' (4) = \frac{- 270}{19^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $19$ mit $3$ .

$f'' (4) = \frac{- 270}{6859}$

Schritt 7.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (4) = - \frac{270}{6859}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{270}{6859}$ .

$- \frac{270}{6859}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(1, \infty)$ konkav, weil $f'' (4)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- 1, 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 9