Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x)}{x^{3}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Ziehe den Exponenten $3$ von $\sin^{3} (5 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (5 x))}^{3}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{\sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Schritt 1.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{3 x^{2}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $3$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (5 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x))}{3 x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (5 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x))}{3 (x^{2})}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (5 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x))}{3 x^{2}}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{x^{2}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{x^{2}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$5 \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$5 \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (5 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$5 \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$5 \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 \frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$5 \frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.6

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 \frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 \frac{\sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 \frac{\sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.8.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$5 \frac{\sin^{2} (0) \cdot \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.8.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$5 \frac{0^{2} \cdot \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.8.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 \frac{0 \cdot \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.8.4

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$5 \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.8.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$5 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.8.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$5 \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$5 \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 \frac{0}{0^{2}}$

Schritt 3.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$5 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$5 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$5 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin^{2} (5 x)$ und $g (x) = \cos (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.4

Multipliziere $\sin^{2} (5 x)$ mit $\sin (5 x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.4.1

Bewege $\sin (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x) \sin^{2} (5 x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.4.2

Mutltipliziere $\sin (5 x)$ mit $\sin^{2} (5 x)$ .

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Schritt 3.3.4.2.1

Potenziere $\sin (5 x)$ mit $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (5 x) \sin^{2} (5 x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 lim_{x \to 0} \frac{{\sin (5 x)}^{1 + 2} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 1 \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 5 \frac{d}{d x} [x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 5 \cdot 1 + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.9

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $\sin^{3} (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cdot \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.10

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Schritt 3.3.10.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.10.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) \cdot 2 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cdot \cos (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.12

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.3.12.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $5 x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.12.2

Die Ableitung von $\sin (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\cos (u_{3})$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos (5 x) \sin (5 x) \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.12.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $5 x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos (5 x) \sin (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.13

Potenziere $\cos (5 x)$ mit $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos^{1} (5 x) \cos (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.14

Potenziere $\cos (5 x)$ mit $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 {\cos (5 x)}^{1 + 1} \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.16

Addiere $1$ und $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.17

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.18

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.19

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.20

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.21

Stelle die Terme um.

$5 lim_{x \to 0} \frac{10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.22

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{2 x}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{x}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to 0} 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to 0} 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.2

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (5 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.6

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.8

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.9

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 lim_{x \to 0} \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.10

Ziehe den Exponenten $3$ von $\sin^{3} (5 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 {(lim_{x \to 0} \sin (5 x))}^{3}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.11

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 \sin^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.12

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 \sin^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1.2.13.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 \sin^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.13.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.13.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.2.14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.14.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.14.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot 1^{2} \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.14.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot 1 \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.14.1.4

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.14.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot \sin (0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.14.1.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot 0 - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.14.1.7

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.14.1.8

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 - 5 \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.14.1.9

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 - 5 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.14.1.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.14.1.11

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.14.2

Addiere $0$ und $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0}{0}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0}{0}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)]$ .

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Schritt 5.3.3.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x) \sin (5 x)]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x) \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos^{2} (5 x)$ und $g (x) = \sin (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (5 x)$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 5.3.3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.7.2

Die Ableitung von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $- \sin (u_{3})$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.7.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.8

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.10

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.11

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cdot 5 \cdot \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.12

Multipliziere $\cos^{2} (5 x)$ mit $\cos (5 x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.12.1

Bewege $\cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos (5 x) \cos^{2} (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.12.2

Mutltipliziere $\cos (5 x)$ mit $\cos^{2} (5 x)$ .

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Schritt 5.3.3.12.2.1

Potenziere $\cos (5 x)$ mit $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.12.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 ({\cos (5 x)}^{1 + 2} \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.12.3

Addiere $1$ und $2$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{3} (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.13

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos^{3} (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cdot \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.14

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.15

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.16

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 10 \cos (5 x) \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.17

Potenziere $\sin (5 x)$ mit $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{1} (5 x) \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.18

Potenziere $\sin (5 x)$ mit $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.20

Addiere $1$ und $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]$ .

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Schritt 5.3.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 \sin^{3} (5 x)$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $\sin (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ gleich $n {u_{4}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.4.2.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $\sin (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 5.3.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{5}$ durch $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d u_{5}} [\sin (u_{5})] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.4.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{5})$ nach $u_{5}$ ist $\cos (u_{5})$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (u_{5}) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.4.3.3

Ersetze alle $u_{5}$ durch $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.4.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.4.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.4.7

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cdot 5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.4.8

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.4.9

Mutltipliziere $15$ mit $- 5$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache.

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Schritt 5.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 \cdot 5 \cos^{3} (5 x) + 10 \cdot - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.5.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{50 \cos^{3} (5 x) + 10 \cdot - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.5.2.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $10$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{50 \cos^{3} (5 x) - 100 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.5.2.3

Stelle die Faktoren von $- 100 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)$ um.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{50 \cos^{3} (5 x) - 100 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.5.2.4

Subtrahiere $75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ von $- 100 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{50 \cos^{3} (5 x) - 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.5.3

Stelle die Terme um.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{- 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 50 \cos^{3} (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{- 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 50 \cos^{3} (5 x)}{1}$

Schritt 5.4

Dividiere $- 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 50 \cos^{3} (5 x)$ durch $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} - 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 50 \cos^{3} (5 x)$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$5 (\frac{1}{2}) (- lim_{x \to 0} 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Schritt 6.2

Ziehe den Term $175$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Schritt 6.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Schritt 6.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (5 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 {(lim_{x \to 0} \sin (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Schritt 6.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Schritt 6.6

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Schritt 6.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Schritt 6.8

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Schritt 6.9

Ziehe den Term $50$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x))$

Schritt 6.10

Ziehe den Exponenten $3$ von $\cos^{3} (5 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{3})$

Schritt 6.11

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \cos^{3} (lim_{x \to 0} 5 x))$

Schritt 6.12

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x))$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x))$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x))$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2} (- 175 \sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{5}{2} (- 175 \sin^{2} (0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{5}{2} (- 175 \cdot 0^{2} \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Schritt 8.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{5}{2} (- 175 \cdot 0 \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $- 175$ mit $0$ .

$\frac{5}{2} (0 \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Schritt 8.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{5}{2} (0 \cdot \cos (0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Schritt 8.2.6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{5}{2} (0 \cdot 1 + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Schritt 8.2.7

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{5}{2} (0 + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Schritt 8.2.8

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{5}{2} (0 + 50 \cos^{3} (0))$

Schritt 8.2.9

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{5}{2} (0 + 50 \cdot 1^{3})$

Schritt 8.2.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{5}{2} (0 + 50 \cdot 1)$

Schritt 8.2.11

Mutltipliziere $50$ mit $1$ .

$\frac{5}{2} (0 + 50)$

Schritt 8.3

Addiere $0$ und $50$ .

$\frac{5}{2} \cdot 50$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $50$ heraus.

$\frac{5}{2} \cdot (2 (25))$

Schritt 8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot 25)$

Schritt 8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$5 \cdot 25$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$125$