Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 2} \frac{3 - \sqrt{6 x + 21}}{x + 2}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 - \sqrt{6 x + 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 - lim_{x \to - 2} \sqrt{6 x + 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{3 - lim_{x \to - 2} \sqrt{6 x + 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to - 2} 6 x + 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to - 2} 6 x + lim_{x \to - 2} 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.1.5

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 - \sqrt{6 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.1.6

Berechne den Grenzwert von $21$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{3 - \sqrt{6 lim_{x \to - 2} x + 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{3 - \sqrt{6 \cdot - 2 + 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$\frac{3 - \sqrt{- 12 + 21}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Addiere $- 12$ und $21$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{0}{- 2 + 2}$

Schritt 1.1.3.3

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 2} \frac{3 - \sqrt{6 x + 21}}{x + 2} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{6 x + 21}]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{6 x + 21}]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - \sqrt{6 x + 21}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 x + 21}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 x + 21}]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{6 x + 21}]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{6 x + 21}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 x + 21}$ als ${(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to - 2} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 6 x + 21$ .

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Schritt 1.3.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x + 21$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x + 21])}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x + 21])}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x + 21$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x + 21])}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x + 21$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [21]))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [21]))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [21]))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.7

Da $21$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $21$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} (6 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (6 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (6 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (6 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.4.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{1 - 2}{2}} (6 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{\frac{- 1}{2}} (6 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}} (6 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.13

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}} (6 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.14

Addiere $6$ und $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 6)}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - (\frac{{(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 6)}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.16

Kombiniere $\frac{{(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $6$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - \frac{{(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 6}{2}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.17

Bringe $6$ auf die linke Seite von ${(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - \frac{6 \cdot {(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.18

Bringe ${(6 x + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - \frac{6}{2 {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.19

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - \frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.4.20.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - \frac{2 \cdot 3}{2 ({(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - \frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4.20.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - 2} \frac{0 - \frac{3}{{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $\frac{3}{{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ von $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{3}{{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{3}{{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{3}{{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [2]}$

Schritt 1.3.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{3}{{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{3}{{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to - 2} - \frac{3}{{(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.5

Schreibe ${(6 x + 21)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{6 x + 21}$ um.

$lim_{x \to - 2} - \frac{3}{\sqrt{6 x + 21}} \cdot 1$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 2} - \frac{3}{\sqrt{6 x + 21}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to - 2} \frac{3}{\sqrt{6 x + 21}}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 3 lim_{x \to - 2} \frac{1}{\sqrt{6 x + 21}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$- 3 \frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} \sqrt{6 x + 21}}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to - 2} \sqrt{6 x + 21}}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- 3 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to - 2} 6 x + 21}}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$- 3 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to - 2} 6 x + lim_{x \to - 2} 21}}$

Schritt 2.7

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 3 \frac{1}{\sqrt{6 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 21}}$

Schritt 2.8

Berechne den Grenzwert von $21$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$- 3 \frac{1}{\sqrt{6 lim_{x \to - 2} x + 21}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$- 3 \frac{1}{\sqrt{6 \cdot - 2 + 21}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$- 3 \frac{1}{\sqrt{- 12 + 21}}$

Schritt 4.1.2

Addiere $- 12$ und $21$ .

$- 3 \frac{1}{\sqrt{9}}$

Schritt 4.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- 3 \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 4.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- 3 (\frac{1}{3})$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 1 \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1$