Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 1.3.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 + 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.3.9

Kombiniere $3$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.3.12

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 1.3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Schritt 2.2.9.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Schritt 2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Schritt 2.2.11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{2}{3}}$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.14

Bringe $x^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.16

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ von $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 + 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 4.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 4.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 4.1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 4.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 4.1.3.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 4.1.3.9

Kombiniere $3$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 4.1.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f' (x) = 2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 4.1.3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.1.3.12

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.1.3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.3.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 4.1.3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.1.3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ um.

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $x^{\frac{1}{3}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 2}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Dividiere $2$ durch $- 2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Schritt 5.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 5.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 5.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 5.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 1)}^{3}$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.4.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - 1$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 1, 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$- \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 9.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{4}}$

Schritt 9.1.4

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{2}{3}$

Schritt 10

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = 2 (- 1) + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 11.2.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f (- 1) = - 2 + 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 11.2.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 11.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 11.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{2}$

Schritt 11.2.1.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 \cdot 1$

Schritt 11.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 3$

Schritt 11.2.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f (- 1) = 1$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$- \frac{2}{3 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 13.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{4}}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0}$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Schritt 13.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{2}{0}$

Schritt 13.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 14.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 14.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die erste Ableitung $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = 2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 0.5$ , aus dem Intervall $(- 1, 0)$ in die erste Ableitung $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = 2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.3.2

Die endgültige Lösung ist $2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 2 + \frac{2}{{(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.4.2.1.1

Bringe ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 14.4.2.1.2

Multipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{3}}$ .

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Schritt 14.4.2.1.2.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 14.4.2.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (2) = 2 + 2^{1 - \frac{1}{3}}$

Schritt 14.4.2.1.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Schritt 14.4.2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{3 - 1}{3}}$

Schritt 14.4.2.1.2.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 14.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 + 2^{\frac{2}{3}}$ .

$2 + 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 14.5

Da die erste Ableitung um $x = - 1$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = - 1$ ein lokales Maximum.

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14.6

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Minimum.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14.7

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15