Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin (2 x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \cos (x) + \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 1.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 4 \sin (2 x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$- 2 \sin (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \sin (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x)$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sin (x)$ heraus.

$2 (- \sin (x)) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (- \sin (x)) + 2 (1) - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \sin^{2} (x)$ heraus.

$2 (- \sin (x)) + 2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- \sin (x)) + 2 (1)$ heraus.

$2 (- \sin (x) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- \sin (x) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ heraus.

$2 (- \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.2.1.1

Stelle die Terme um.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 5.2.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 5.2.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 5.2.1.2.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 5.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 5.2.1.2.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 5.2.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 5.2.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Schritt 5.2.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 \sin (x) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Schritt 5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 7

Setze $- 2 \sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $- 2 \sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 7.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.6

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 7.2.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 7.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.6.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 7.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.2.7

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Schritt 8

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 8.2

Löse $\sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 1$

Schritt 8.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 8.2.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 8.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.2.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 8.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 8.2.6

Die Lösung der Gleichung $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{6}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 \cos (\frac{π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 11.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 11.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 11.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 11.1.3

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 11.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Schritt 11.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Schritt 11.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 11.1.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$- \sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Schritt 11.2

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $- \sqrt{3}$ .

$- 3 \sqrt{3}$

Schritt 12

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{6}$ .

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Schritt 13.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{6}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 13.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 13.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 13.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 13.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 13.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Schritt 13.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Schritt 13.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 13.2.1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.2.2

Um $\sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.2.3.1

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.2.4.2

Addiere $2 \sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 13.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{5 π}{6}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 15

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6})) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 15.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 15.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 15.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 15.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 15.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (- \sqrt{3}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 15.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 15.1.5

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 15.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Schritt 15.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Schritt 15.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Schritt 15.1.7

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$\sqrt{3} - 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 15.1.8

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 15.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1.9.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$\sqrt{3} - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 15.1.9.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 15.1.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 15.1.9.4

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{3} - 2 (- \sqrt{3})$

Schritt 15.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 15.2

Addiere $\sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

Schritt 16

$x = \frac{5 π}{6}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{5 π}{6}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{5 π}{6}$ .

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Schritt 17.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5 π}{6}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 17.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 17.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.2.1.1

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 17.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 17.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 17.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 17.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 17.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Schritt 17.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Schritt 17.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (\frac{5 π}{3})$

Schritt 17.2.1.5

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 17.2.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 17.2.2

Um $- \sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 17.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 17.2.3.1

Kombiniere $- \sqrt{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 17.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

Schritt 17.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Schritt 17.2.4.2

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 17.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 17.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 \cos (- \frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Schritt 19

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 19.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.1.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- 2 \cos (\frac{3 π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Schritt 19.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 2 \cos (\frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Schritt 19.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- 2 \cdot 0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Schritt 19.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Schritt 19.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Schritt 19.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Schritt 19.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$0 - 4 \sin (- π)$

Schritt 19.1.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$0 - 4 \sin (0)$

Schritt 19.1.7

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Schritt 19.1.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 19.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 20

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 20.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Schritt 20.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{π}{2})$ in die erste Ableitung $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 20.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = - 2 \sin (- 4) + 2 \cos (2 (- 4))$

Schritt 20.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 20.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.2.2.1.1

Berechne $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 2 \cdot 0.75680249 + 2 \cos (2 (- 4))$

Schritt 20.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.75680249$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (2 (- 4))$

Schritt 20.2.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (- 8)$

Schritt 20.2.2.1.4

Berechne $\cos (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

Schritt 20.2.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.14550003$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 - 0.29100006$

Schritt 20.2.2.2

Subtrahiere $0.29100006$ von $- 1.51360499$ .

$f' (- 4) = - 1.80460505$

Schritt 20.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.80460505$ .

$- 1.80460505$

Schritt 20.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ in die erste Ableitung $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 20.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = - 2 \sin (0) + 2 \cos (2 (0))$

Schritt 20.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 20.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.3.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 2 \cos (2 (0))$

Schritt 20.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (2 (0))$

Schritt 20.3.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

Schritt 20.3.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Schritt 20.3.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Schritt 20.3.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$f' (0) = 2$

Schritt 20.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 20.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ in die erste Ableitung $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 20.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - 2 \sin (2) + 2 \cos (2 (2))$

Schritt 20.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 20.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.4.2.1.1

Berechne $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 2 \cdot 0.90929742 + 2 \cos (2 (2))$

Schritt 20.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (2 (2))$

Schritt 20.4.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (4)$

Schritt 20.4.2.1.4

Berechne $\cos (4)$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cdot - 0.65364362$

Schritt 20.4.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.65364362$ .

$f' (2) = - 1.81859485 - 1.30728724$

Schritt 20.4.2.2

Subtrahiere $1.30728724$ von $- 1.81859485$ .

$f' (2) = - 3.12588209$

Schritt 20.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3.12588209$ .

$- 3.12588209$

Schritt 20.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ in die erste Ableitung $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 20.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = - 2 \sin (4) + 2 \cos (2 (4))$

Schritt 20.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.5.2.1.1

Berechne $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 2 \cdot - 0.75680249 + 2 \cos (2 (4))$

Schritt 20.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (2 (4))$

Schritt 20.5.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (8)$

Schritt 20.5.2.1.4

Berechne $\cos (8)$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

Schritt 20.5.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.14550003$ .

$f' (4) = 1.51360499 - 0.29100006$

Schritt 20.5.2.2

Subtrahiere $0.29100006$ von $1.51360499$ .

$f' (4) = 1.22260492$

Schritt 20.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.22260492$ .

$1.22260492$

Schritt 20.6

Setze eine beliebige Zahl, wie $7$ , aus dem Intervall $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ in die erste Ableitung $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 20.6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = - 2 \sin (7) + 2 \cos (2 (7))$

Schritt 20.6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.6.2.1.1

Berechne $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 2 \cdot 0.65698659 + 2 \cos (2 (7))$

Schritt 20.6.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.65698659$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (2 (7))$

Schritt 20.6.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (14)$

Schritt 20.6.2.1.4

Berechne $\cos (14)$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cdot 0.13673721$

Schritt 20.6.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $0.13673721$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 0.27347443$

Schritt 20.6.2.2

Addiere $- 1.31397319$ und $0.27347443$ .

$f' (7) = - 1.04049876$

Schritt 20.6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.04049876$ .

$- 1.04049876$

Schritt 20.7

Da die erste Ableitung um $x = - \frac{π}{2}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - \frac{π}{2}$ ein lokales Minimum.

$x = - \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 20.8

Da die erste Ableitung um $x = \frac{π}{6}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = \frac{π}{6}$ ein lokales Maximum.

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 20.9

Da die erste Ableitung um $x = \frac{5 π}{6}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = \frac{5 π}{6}$ ein lokales Minimum.

$x = \frac{5 π}{6}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 20.10

Da die erste Ableitung um $x = \frac{3 π}{2}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = \frac{3 π}{2}$ ein lokales Maximum.

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 20.11

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 \cos (x) + \sin (2 x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{5 π}{6}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Maximum

$x = - \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{5 π}{6}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 21