Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos (2 x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \sin (x) - \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Schritt 2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 4 \cos (2 x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x) = 0$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \cos (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \cos (x)$ heraus.

$2 \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $4 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x))$ heraus.

$2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 7

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 7.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 7.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 7.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 7.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 7.2.5

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 8

Setze $1 + 2 \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $1 + 2 \sin (x)$ gleich $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 8.2

Löse $1 + 2 \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x) = - 1$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 8.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Schritt 8.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 8.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.2.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 8.2.6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 8.2.7

Die Lösung der Gleichung $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 \sin (\frac{π}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 2 \cdot 1 + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Schritt 11.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 + 4 \cos (2 \frac{π}{2})$

Schritt 11.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 + 4 \cos (π)$

Schritt 11.1.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- 2 + 4 (- \cos (0))$

Schritt 11.1.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 2 + 4 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 11.1.6

Multipliziere $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 11.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 + 4 \cdot - 1$

Schritt 11.1.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 2 - 4$

Schritt 11.2

Subtrahiere $4$ von $- 2$ .

$- 6$

Schritt 12

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 13.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Schritt 13.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 13.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Schritt 13.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Schritt 13.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Schritt 13.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (π)$

Schritt 13.2.1.4

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (0)$

Schritt 13.2.1.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 13.2.1.6

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 13.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

Schritt 13.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

Schritt 13.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3$

Schritt 13.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 15

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 15.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 15.1.3

Multipliziere $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 15.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 15.1.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 15.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + 4 \cos (2 \frac{3 π}{2})$

Schritt 15.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 + 4 \cos (3 π)$

Schritt 15.1.5

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$2 + 4 \cos (π)$

Schritt 15.1.6

$2 + 4 (- \cos (0))$

Schritt 15.1.7

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 + 4 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 15.1.8

Multipliziere $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 15.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 + 4 \cdot - 1$

Schritt 15.1.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$2 - 4$

Schritt 15.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$- 2$

Schritt 16

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Schritt 17.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 17.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 17.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 17.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 17.2.1.3

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 17.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 17.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 17.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 17.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (3 π)$

Schritt 17.2.1.5

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (π)$

Schritt 17.2.1.6

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (0)$

Schritt 17.2.1.7

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 17.2.1.8

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 17.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 1$

Schritt 17.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 1$

Schritt 17.2.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Schritt 17.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{π}{6}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 \sin (- \frac{π}{6}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 19

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 19.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.1.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- 2 \sin (\frac{11 π}{6}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 19.1.2

$- 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 19.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 19.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$- 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 19.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 19.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 19.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 19.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 19.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{6})$

Schritt 19.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{2 (3)})$

Schritt 19.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{2 \cdot 3})$

Schritt 19.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$1 + 4 \cos (\frac{- π}{3})$

Schritt 19.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + 4 \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 19.1.8

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$1 + 4 \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 19.1.9

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$1 + 4 \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 19.1.10

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 19.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1.11.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$1 + 2 (2) \frac{1}{2}$

Schritt 19.1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Schritt 19.1.11.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + 2$

Schritt 19.2

Addiere $1$ und $2$ .

$3$

Schritt 20

$x = - \frac{π}{6}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{π}{6}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 21

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{π}{6}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (- \frac{π}{6}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 21.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.2.1.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{11 π}{6}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 21.2.1.2

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 21.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 21.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 21.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 21.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Schritt 21.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{6}))$

Schritt 21.2.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{2 (3)}))$

Schritt 21.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 3}))$

Schritt 21.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{- π}{3})$

Schritt 21.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (- \frac{π}{3})$

Schritt 21.2.1.7

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 21.2.1.8

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 21.2.1.9

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 21.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 21.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 21.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 21.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

Schritt 21.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Schritt 21.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Schritt 21.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Schritt 22

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{7 π}{6}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 \sin (\frac{7 π}{6}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Schritt 23

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.1.1

$- 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Schritt 23.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Schritt 23.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$- 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Schritt 23.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Schritt 23.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Schritt 23.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Schritt 23.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Schritt 23.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$1 + 4 \cos (2 \frac{7 π}{2 (3)})$

Schritt 23.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + 4 \cos (2 \frac{7 π}{2 \cdot 3})$

Schritt 23.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + 4 \cos (\frac{7 π}{3})$

Schritt 23.1.6

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$1 + 4 \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 23.1.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 23.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$1 + 2 (2) \frac{1}{2}$

Schritt 23.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Schritt 23.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + 2$

Schritt 23.2

Addiere $1$ und $2$ .

$3$

Schritt 24

$x = \frac{7 π}{6}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{7 π}{6}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 25

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{7 π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 25.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{7 π}{6}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 \sin (\frac{7 π}{6}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Schritt 25.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 25.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 25.2.1.1

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Schritt 25.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Schritt 25.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 25.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Schritt 25.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Schritt 25.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Schritt 25.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 25.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{2 (3)}))$

Schritt 25.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 3}))$

Schritt 25.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{7 π}{3})$

Schritt 25.2.1.5

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 25.2.1.6

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 25.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 25.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 25.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 25.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 25.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

Schritt 25.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Schritt 25.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Schritt 25.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Schritt 26

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 \sin (x) - \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{2}, 3)$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ ist ein lokales Maximum

$(- \frac{π}{6}, - \frac{3}{2})$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{2})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 27