Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x - \frac{32}{x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \frac{32}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{32}{x}$ nach $x$ gleich $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 - 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 - 32 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 - 32 (- x^{- 2})$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 32$ .

$2 + 32 x^{- 2}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 32 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $32$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{32}{x^{2}}$

Schritt 1.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{32}{x^{2}} + 2$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{32}{x^{2}} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{32}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 32 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $32$ .

$f'' (x) = - 64 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 64 x^{- 3} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 64$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 64}{x^{3}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 0$

Schritt 2.4.2.3

Addiere $- \frac{64}{x^{3}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{64}{x^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{32}{x^{2}} + 2 = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6