Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{6}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$4 x - 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$4 x - 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 1.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 6 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 x - 6 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 x - 6 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 1.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 x - 6 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 1.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x - 6 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 1.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$4 x - 6 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$4 x + 12 x^{- 3}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 12 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x + \frac{12}{x^{3}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + \frac{12}{x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{12}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Schritt 2.3.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Schritt 2.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{2 - 6})$

Schritt 2.3.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $12$ .

$f'' (x) = 4 - 36 x^{- 4}$

Schritt 2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 - 36 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1

Kombiniere $- 36$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{- 36}{x^{4}}$

Schritt 2.5.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 4 - \frac{36}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - \frac{36}{x^{4}} + 4$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 x + \frac{12}{x^{3}} = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6