Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{3} + 12 x - 2$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} + 12 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x^{2} + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 x^{2} + 12 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x^{2} + 12 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $12 x^{2} + 12$ und $0$ .

$12 x^{2} + 12$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{2} + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 24 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $24 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 24 x$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$12 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6