Analysis Beispiele

$f (x) = 4 - x^{4} y^{4}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{4} y^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Schritt 1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- y^{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4} y^{4}$ nach $x$ gleich $- y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$0 - y^{4} (4 x^{3})$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$0 - 4 y^{4} x^{3}$

Schritt 1.3

Subtrahiere $4 y^{4} x^{3}$ von $0$ .

$- 4 y^{4} x^{3}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- 4 y^{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y^{4} x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 y^{4} \frac{d}{d x} x^{3}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 y^{4} (3 x^{2})$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 y^{4} x^{2}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 4 y^{4} x^{3} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{4} y^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Schritt 4.1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- y^{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4} y^{4}$ nach $x$ gleich $- y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$0 - y^{4} (4 x^{3})$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$0 - 4 y^{4} x^{3}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $4 y^{4} x^{3}$ von $0$ .

$f' (x) = - 4 y^{4} x^{3}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 4 y^{4} x^{3}$ .

$- 4 y^{4} x^{3}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 4 y^{4} x^{3} = 0$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ durch $- 4 y^{4}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ durch $- 4 y^{4}$ .

$\frac{- 4 y^{4} x^{3}}{- 4 y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y^{4} x^{3}}{- 4 y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{4} x^{3}}{y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{4}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{4} x^{3}}{y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $- 4$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$x^{3} = \frac{4 (0)}{- 4 y^{4}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y^{4}$ heraus.

$x^{3} = \frac{4 (0)}{4 (- y^{4})}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} = \frac{4 \cdot 0}{4 (- y^{4})}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} = \frac{0}{- y^{4}}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $0$ durch $- y^{4}$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.4

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 5.4.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.4.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 12 y^{4} {(0)}^{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 12 y^{4} \cdot 0$

Schritt 9.2

Multipliziere $- 12 y^{4} \cdot 0$ .

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 12$ .

$0 y^{4}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $y^{4}$ .

$0$

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11