Analysis Beispiele

$f (x) = - 413 x^{- 2} + 0.000004 x$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 413 x^{- 2} + 0.000004 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 413$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 413 x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- 413 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 413 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 413 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 413$ .

$826 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [0.000004 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $0.000004$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.000004 x$ nach $x$ gleich $0.000004 \frac{d}{d x} [x]$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $0.000004$ mit $1$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004$

Schritt 1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$826 \frac{1}{x^{3}} + 0.000004$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $826$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{826}{x^{3}} + 0.000004$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{826}{x^{3}} + 0.000004$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{826}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [0.000004]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{826}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{826}{x^{3}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $826$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{826}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $826 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 826 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 826 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = 826 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 826 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = 826 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 826 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 826 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 826 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 826 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Schritt 2.2.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = 826 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Schritt 2.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 826 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Schritt 2.2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$f'' (x) = 826 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $826$ .

$f'' (x) = - 2478 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Schritt 2.3

Da $0.000004$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.000004$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 2478 x^{- 4} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2478 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 2478$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2478}{x^{4}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2478}{x^{4}} + 0$

Schritt 2.4.2.3

Addiere $- \frac{2478}{x^{4}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2478}{x^{4}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{826}{x^{3}} + 0.000004 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 413 x^{- 2} + 0.000004 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 413$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 413 x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- 413 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 413 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 413 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 413$ .

$826 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [0.000004 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $0.000004$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.000004 x$ nach $x$ gleich $0.000004 \frac{d}{d x} [x]$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $0.000004$ mit $1$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004$

Schritt 4.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$826 \frac{1}{x^{3}} + 0.000004$

Schritt 4.1.4.2

Kombiniere $826$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{826}{x^{3}} + 0.000004$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{826}{x^{3}} + 0.000004$ .

$\frac{826}{x^{3}} + 0.000004$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{826}{x^{3}} + 0.000004 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{826}{x^{3}} + 0.000004 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $0.000004$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{826}{x^{3}} = - 0.000004$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{3}, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{3}$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{826}{x^{3}} = - 0.000004$ mit $x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{826}{x^{3}} = - 0.000004$ mit $x^{3}$ .

$\frac{826}{x^{3}} x^{3} = - 0.000004 x^{3}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{826}{x^{3}} x^{3} = - 0.000004 x^{3}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$826 = - 0.000004 x^{3}$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 0.000004 x^{3} = 826$ um.

$- 0.000004 x^{3} = 826$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $826$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 0.000004 x^{3} - 826 = 0$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $- 0.000004$ aus $- 0.000004 x^{3} - 826$ heraus.

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Schritt 5.5.3.1

Faktorisiere $- 0.000004$ aus $- 0.000004 x^{3}$ heraus.

$- 0.000004 x^{3} - 826 = 0$

Schritt 5.5.3.2

Faktorisiere $- 0.000004$ aus $- 826$ heraus.

$- 0.000004 x^{3} - 0.000004 \cdot 206500000 = 0$

Schritt 5.5.3.3

Faktorisiere $- 0.000004$ aus $- 0.000004 (x^{3}) - 0.000004 (206500000)$ heraus.

$- 0.000004 (x^{3} + 206500000) = 0$

Schritt 5.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 0.000004 (x^{3} + 206500000) = 0$ durch $- 0.000004$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 0.000004 (x^{3} + 206500000) = 0$ durch $- 0.000004$ .

$\frac{- 0.000004 (x^{3} + 206500000)}{- 0.000004} = \frac{0}{- 0.000004}$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.000004$ .

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Schritt 5.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.000004 (x^{3} + 206500000)}{- 0.000004} = \frac{0}{- 0.000004}$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Dividiere $x^{3} + 206500000$ durch $1$ .

$x^{3} + 206500000 = \frac{0}{- 0.000004}$

Schritt 5.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 0.000004$ .

$x^{3} + 206500000 = 0$

Schritt 5.5.5

Subtrahiere $206500000$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = - 206500000$

Schritt 5.5.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{- 206500000}$

Schritt 5.5.7

Vereinfache $\sqrt[3]{- 206500000}$ .

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Schritt 5.5.7.1

Schreibe $- 206500000$ als ${(- 50)}^{3} \cdot 1652$ um.

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Schritt 5.5.7.1.1

Faktorisiere $- 125000$ aus $- 206500000$ heraus.

$x = \sqrt[3]{- 125000 (1652)}$

Schritt 5.5.7.1.2

Schreibe $- 125000$ als ${(- 50)}^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{{(- 50)}^{3} \cdot 1652}$

Schritt 5.5.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = - 50 \sqrt[3]{1652}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{826}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 50 \sqrt[3]{1652}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 50 \sqrt[3]{1652}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2478}{{(- 50 \sqrt[3]{1652})}^{4}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $- 50 \sqrt[3]{1652}$ an.

$- \frac{2478}{{(- 50)}^{4} {\sqrt[3]{1652}}^{4}}$

Schritt 9.1.2

Potenziere $- 50$ mit $4$ .

$- \frac{2478}{6250000 {\sqrt[3]{1652}}^{4}}$

Schritt 9.1.3

Schreibe ${\sqrt[3]{1652}}^{4}$ als $\sqrt[3]{1652^{4}}$ um.

$- \frac{2478}{6250000 \sqrt[3]{1652^{4}}}$

Schritt 9.1.4

Potenziere $1652$ mit $4$ .

$- \frac{2478}{6250000 \sqrt[3]{7448008642816}}$

Schritt 9.1.5

Schreibe $7448008642816$ als $1652^{3} \cdot 1652$ um.

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Schritt 9.1.5.1

Faktorisiere $4508479808$ aus $7448008642816$ heraus.

$- \frac{2478}{6250000 \sqrt[3]{4508479808 (1652)}}$

Schritt 9.1.5.2

Schreibe $4508479808$ als $1652^{3}$ um.

$- \frac{2478}{6250000 \sqrt[3]{1652^{3} \cdot 1652}}$

Schritt 9.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{2478}{6250000 \cdot 1652 \sqrt[3]{1652}}$

Schritt 9.1.7

Mutltipliziere $6250000$ mit $1652$ .

$- \frac{2478}{10325000000 \sqrt[3]{1652}}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2478$ und $10325000000$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $826$ aus $2478$ heraus.

$- \frac{826 (3)}{10325000000 \sqrt[3]{1652}}$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $826$ aus $10325000000 \sqrt[3]{1652}$ heraus.

$- \frac{826 (3)}{826 (12500000 \sqrt[3]{1652})}$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{826 \cdot 3}{826 (12500000 \sqrt[3]{1652})}$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{12500000 \sqrt[3]{1652}}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $\frac{3}{12500000 \sqrt[3]{1652}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}$ .

$- (\frac{3}{12500000 \sqrt[3]{1652}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}{{\sqrt[3]{1652}}^{2}})$

Schritt 9.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{12500000 \sqrt[3]{1652}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \sqrt[3]{1652} {\sqrt[3]{1652}}^{2}}$

Schritt 9.4.2

Bewege $\sqrt[3]{1652}$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 (\sqrt[3]{1652} {\sqrt[3]{1652}}^{2})}$

Schritt 9.4.3

Potenziere $\sqrt[3]{1652}$ mit $1$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 ({\sqrt[3]{1652}}^{1} {\sqrt[3]{1652}}^{2})}$

Schritt 9.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 {\sqrt[3]{1652}}^{1 + 2}}$

Schritt 9.4.5

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 {\sqrt[3]{1652}}^{3}}$

Schritt 9.4.6

Schreibe ${\sqrt[3]{1652}}^{3}$ als $1652$ um.

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Schritt 9.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{1652}$ als $1652^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 {(1652^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 9.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 9.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 9.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 9.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652^{1}}$

Schritt 9.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{1652}}^{2}$ als $\sqrt[3]{1652^{2}}$ um.

$- \frac{3 \sqrt[3]{1652^{2}}}{12500000 \cdot 1652}$

Schritt 9.5.2

Potenziere $1652$ mit $2$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{2729104}}{12500000 \cdot 1652}$

Schritt 9.5.3

Schreibe $2729104$ als $2^{3} \cdot 341138$ um.

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Schritt 9.5.3.1

Faktorisiere $8$ aus $2729104$ heraus.

$- \frac{3 \sqrt[3]{8 (341138)}}{12500000 \cdot 1652}$

Schritt 9.5.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$- \frac{3 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 341138}}{12500000 \cdot 1652}$

Schritt 9.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{3 \cdot 2 \sqrt[3]{341138}}{12500000 \cdot 1652}$

Schritt 9.5.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{6 \sqrt[3]{341138}}{12500000 \cdot 1652}$

Schritt 9.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.6.1

Mutltipliziere $12500000$ mit $1652$ .

$- \frac{6 \sqrt[3]{341138}}{20650000000}$

Schritt 9.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $20650000000$ .

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Schritt 9.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt[3]{341138}$ heraus.

$- \frac{2 (3 \sqrt[3]{341138})}{20650000000}$

Schritt 9.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $20650000000$ heraus.

$- \frac{2 (3 \sqrt[3]{341138})}{2 (10325000000)}$

Schritt 9.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (3 \sqrt[3]{341138})}{2 \cdot 10325000000}$

Schritt 9.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 \sqrt[3]{341138}}{10325000000}$

Schritt 10

$x = - 50 \sqrt[3]{1652}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 50 \sqrt[3]{1652}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 50 \sqrt[3]{1652}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 50 \sqrt[3]{1652}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 {(- 50 \sqrt[3]{1652})}^{- 2} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{{(- 50 \sqrt[3]{1652})}^{2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 50 \sqrt[3]{1652}$ an.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{{(- 50)}^{2} {\sqrt[3]{1652}}^{2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.2.2

Potenziere $- 50$ mit $2$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 {\sqrt[3]{1652}}^{2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.2.3

Schreibe ${\sqrt[3]{1652}}^{2}$ als $\sqrt[3]{1652^{2}}$ um.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \sqrt[3]{1652^{2}}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.2.4

Potenziere $1652$ mit $2$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \sqrt[3]{2729104}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.2.5

Schreibe $2729104$ als $2^{3} \cdot 341138$ um.

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Schritt 11.2.1.2.5.1

Faktorisiere $8$ aus $2729104$ heraus.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \sqrt[3]{8 (341138)}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.2.5.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 341138}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \cdot (2 \sqrt[3]{341138})} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.2.7

Mutltipliziere $2500$ mit $2$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{5000 \sqrt[3]{341138}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{5000 \sqrt[3]{341138}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 (\frac{1}{5000 \sqrt[3]{341138}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}) + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5000 \sqrt[3]{341138}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \sqrt[3]{341138} {\sqrt[3]{341138}}^{2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.4.2

Bewege $\sqrt[3]{341138}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 (\sqrt[3]{341138} {\sqrt[3]{341138}}^{2})} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.4.3

Potenziere $\sqrt[3]{341138}$ mit $1$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 (\sqrt[3]{341138} {\sqrt[3]{341138}}^{2})} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 {\sqrt[3]{341138}}^{1 + 2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.4.5

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 {\sqrt[3]{341138}}^{3}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.4.6

Schreibe ${\sqrt[3]{341138}}^{3}$ als $341138$ um.

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Schritt 11.2.1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{341138}$ als $341138^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 {(341138^{\frac{1}{3}})}^{3}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138^{\frac{1}{3} \cdot 3}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138^{\frac{3}{3}}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138^{\frac{3}{3}}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{341138}}^{2}$ als $\sqrt[3]{341138^{2}}$ um.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{\sqrt[3]{341138^{2}}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.5.2

Potenziere $341138$ mit $2$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{\sqrt[3]{116375135044}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.5.3

Schreibe $116375135044$ als $413^{3} \cdot 1652$ um.

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Schritt 11.2.1.5.3.1

Faktorisiere $70444997$ aus $116375135044$ heraus.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{\sqrt[3]{70444997 (1652)}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.5.3.2

Schreibe $70444997$ als $413^{3}$ um.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{\sqrt[3]{413^{3} \cdot 1652}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.6

Mutltipliziere $5000$ mit $341138$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{1705690000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $413$ .

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Schritt 11.2.1.7.1

Faktorisiere $413$ aus $- 413$ heraus.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = 413 (- 1) (\frac{413 \sqrt[3]{1652}}{1705690000}) + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.7.2

Faktorisiere $413$ aus $1705690000$ heraus.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = 413 \cdot (- 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{413 \cdot 4130000}) + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = 413 \cdot (- 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{413 \cdot 4130000}) + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{4130000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $413$ und $4130000$ .

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Schritt 11.2.1.8.1

Faktorisiere $413$ aus $413 \sqrt[3]{1652}$ heraus.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{413 (\sqrt[3]{1652})}{4130000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1.8.2.1

Faktorisiere $413$ aus $4130000$ heraus.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{413 \cdot 10000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{413 \cdot 10000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.9

Schreibe $- 1 \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000}$ als $- \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000}$ um.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Schritt 11.2.1.10

Multipliziere $0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$ .

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Schritt 11.2.1.10.1

Mutltipliziere $- 50$ mit $0.000004$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000} - 0.0002 \sqrt[3]{1652}$

Schritt 11.2.1.10.2

Mutltipliziere $- 0.0002$ mit $\sqrt[3]{1652}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000} - 0.00236428$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $0.00236428$ von $- \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 0.00354642$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.00354642$ .

$y = - 0.00354642$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - 413 x^{- 2} + 0.000004 x$ .

$(- 50 \sqrt[3]{1652}, - 0.00354642)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13