Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x + \ln (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$4 + \frac{1}{x}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x} + 4$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $- \frac{1}{x^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{1}{x} + 4 = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6