Analysis Beispiele

$f (x) = 7 x \sqrt{3 - x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 - x}$ als ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [7 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 3 - x$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 - x$ .

$7 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$7 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 - x$ .

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$7 (x (\frac{1}{2} {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$7 (x (\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.8.3

Bringe ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 (x (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x] + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.14.2

Kombiniere $\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$7 (\frac{x \cdot - 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.14.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$7 (\frac{- 1 \cdot x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.14.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$7 (\frac{- x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.14.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 1.16

Mutltipliziere ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.17

Um ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.18

Kombiniere ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20

Multipliziere ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.20.1

Bewege ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20.4

Addiere $1$ und $1$ .

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$7 \frac{- x + {(3 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.21

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.21.1

Vereinfache ${(3 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$7 \frac{- x + (3 - x) \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.21.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 - x$ .

$7 \frac{- x + 2 \cdot (3 - x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.22

Kombiniere $7$ und $\frac{- x + 2 (3 - x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7 (- x + 2 (3 - x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23

Vereinfache.

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Schritt 1.23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (- x + 2 \cdot 3 + 2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (- x) + 7 (2 \cdot 3) + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.23.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.23.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{- 7 x + 7 (2 \cdot 3) + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.3.1.2

Multipliziere $7 (2 \cdot 3)$ .

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Schritt 1.23.3.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{- 7 x + 7 \cdot 6 + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.3.1.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$\frac{- 7 x + 42 + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 7 x + 42 + 7 (- 2 x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$\frac{- 7 x + 42 - 14 x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.3.2

Subtrahiere $14 x$ von $- 7 x$ .

$\frac{- 21 x + 42}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.4

Faktorisiere $21$ aus $- 21 x + 42$ heraus.

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Schritt 1.23.4.1

Faktorisiere $21$ aus $- 21 x$ heraus.

$\frac{21 (- x) + 42}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.4.2

Faktorisiere $21$ aus $42$ heraus.

$\frac{21 (- x) + 21 (2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.4.3

Faktorisiere $21$ aus $21 (- x) + 21 (2)$ heraus.

$\frac{21 (- x + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{21 (- (x) + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.6

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{21 (- (x) - 1 (- 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{21 (- (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.8

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$\frac{21 (- 1 (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- \frac{21}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{21}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x - 2}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 2$ und $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Schritt 2.5.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 3 - x$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Schritt 2.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Schritt 2.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Schritt 2.11.3

Bringe ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Schritt 2.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- x)))}{3 - x}$

Schritt 2.13

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{3 - x}$

Schritt 2.14

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{3 - x}$

Schritt 2.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{3 - x}$

Schritt 2.16

Multipliziere.

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Schritt 2.16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{3 - x}$

Schritt 2.16.2

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{3 - x}$

Schritt 2.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{3 - x}$

Schritt 2.18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.18.1

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{21}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{3 - x}$

Schritt 2.18.2

Mutltipliziere $\frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{3 - x}$ mit $\frac{21}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})) \cdot 21}{(3 - x) \cdot 2}$

Schritt 2.18.3

Stelle um.

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Schritt 2.18.3.1

Bringe $21$ auf die linke Seite von ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{21 \cdot ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{(3 - x) \cdot 2}$

Schritt 2.18.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{21 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot (3 - x)}$

Schritt 2.19

Vereinfache.

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Schritt 2.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{21 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 21 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (3 - x)}$

Schritt 2.19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{21 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 21 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.19.3.1

Faktorisiere $21$ aus $21 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 21 (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 2.19.3.1.1

Faktorisiere $21$ aus $21 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{21 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 21 (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.1.2

Faktorisiere $21$ aus $21 (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{21 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 21 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.1.3

Faktorisiere $21$ aus $21 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 21 ((x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{21 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.2

Es sei $u_{2} = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u_{2}$ für alle ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.19.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 u_{2} u_{2} + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.2.2

Multipliziere $u_{2}$ mit $u_{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.19.3.2.2.1

Bewege $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.2.2.2

Mutltipliziere $u_{2}$ mit $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 {u_{2}}^{2} + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.19.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.19.3.4.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.19.3.4.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.19.3.4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.4.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 (3 - x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.4.1.2

Vereinfache.

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 (3 - x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{2 \cdot 3 + 2 (- x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{6 + 2 (- x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{6 - 2 x + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.4.2

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{- 2 x + x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.4.3

Addiere $- 2 x$ und $x$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (\frac{- x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.19.4.1

Kombiniere $21$ und $\frac{- x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 - 2 x}$

Schritt 2.19.4.4

Schreibe $\frac{\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 - 2 x}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - (\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 - 2 x})$

Schritt 2.19.4.5

Mutltipliziere $\frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{6 - 2 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (6 - 2 x)}$

Schritt 2.19.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.19.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6 - 2 x$ heraus.

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Schritt 2.19.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3) - 2 x)}$

Schritt 2.19.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3) + 2 (- x))}$

Schritt 2.19.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3) + 2 (- x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (3 - x))}$

Schritt 2.19.5.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.19.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 - x)}$

Schritt 2.19.5.2.2

Potenziere $3 - x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 ((3 - x) {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.19.5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.19.5.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.19.5.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 2.19.5.2.6

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{21 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{21 (- (x) + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.7

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$f'' (x) = - \frac{21 (- (x) - 1 \cdot - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 4)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{21 (- (x - 4))}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.9

Schreibe $- (x - 4)$ als $- 1 (x - 4)$ um.

$f'' (x) = - \frac{21 (- 1 (x - 4))}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{21 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{21 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 2.19.12

Mutltipliziere $\frac{21 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{21 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 - x}$ als ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (7 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.1.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.2

$f' (x) = 7 (x \frac{d}{d x} ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 3 - x$ .

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Schritt 4.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 - x$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 - x$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.8.3

Bringe ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 7 (x (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.14.2

Kombiniere $\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x \cdot - 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.14.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = 7 (\frac{- 1 \cdot x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.14.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f' (x) = 7 (\frac{- x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.14.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 4.1.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 4.1.16

Mutltipliziere ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = 7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.17

Um ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.18

Kombiniere ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 7 (- \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 7 (\frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.20

Multipliziere ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.20.1

Bewege ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 7 (\frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.20.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 7 (\frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.20.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 7 (\frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.20.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = 7 (\frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.20.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f' (x) = 7 (\frac{- x + (3 - x) \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.21

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.21.1

Vereinfache ${(3 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = 7 (\frac{- x + (3 - x) \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.21.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 - x$ .

$f' (x) = 7 (\frac{- x + 2 \cdot (3 - x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.22

Kombiniere $7$ und $\frac{- x + 2 (3 - x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{7 (- x + 2 (3 - x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23

Vereinfache.

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Schritt 4.1.23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{7 (- x + 2 \cdot 3 + 2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{7 (- x) + 7 (2 \cdot 3) + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.23.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.23.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f' (x) = \frac{- 7 x + 7 (2 \cdot 3) + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.3.1.2

Multipliziere $7 (2 \cdot 3)$ .

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Schritt 4.1.23.3.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{- 7 x + 7 \cdot 6 + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.3.1.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$f' (x) = \frac{- 7 x + 42 + 7 (2 (- x))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{- 7 x + 42 + 7 (- 2 x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$f' (x) = \frac{- 7 x + 42 - 14 x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.3.2

Subtrahiere $14 x$ von $- 7 x$ .

$f' (x) = \frac{- 21 x + 42}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.4

Faktorisiere $21$ aus $- 21 x + 42$ heraus.

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Schritt 4.1.23.4.1

Faktorisiere $21$ aus $- 21 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{21 (- x) + 42}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.4.2

Faktorisiere $21$ aus $42$ heraus.

$f' (x) = \frac{21 (- x) + 21 (2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.4.3

Faktorisiere $21$ aus $21 (- x) + 21 (2)$ heraus.

$f' (x) = \frac{21 (- x + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f' (x) = \frac{21 (- (x) + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.6

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$f' (x) = \frac{21 (- (x) - 1 \cdot - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$f' (x) = \frac{21 (- (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.8

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$f' (x) = \frac{21 (- 1 (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.23.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{21 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$21 (x - 2) = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $21 (x - 2) = 0$ durch $21$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $21 (x - 2) = 0$ durch $21$ .

$\frac{21 (x - 2)}{21} = \frac{0}{21}$

Schritt 5.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $21$ .

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Schritt 5.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{21 (x - 2)}{21} = \frac{0}{21}$

Schritt 5.3.1.2.1.2

Dividiere $x - 2$ durch $1$ .

$x - 2 = \frac{0}{21}$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $21$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 5.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{21 (x - 2)}{2 \sqrt{{(3 - x)}^{1}}}$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{21 (x - 2)}{2 \sqrt{3 - x}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{21 (x - 2)}{2 \sqrt{3 - x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{3 - x} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{3 - x})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 - x}$ als ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(3 - x)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (3 - x) = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 3 + 4 (- x) = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.3.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 + 4 (- x) = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$12 - 4 x = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$12 - 4 x = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x = - 12$

Schritt 6.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 12$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 12$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 12}{- 4}$

Schritt 6.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 6.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 12}{- 4}$

Schritt 6.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 4}$

Schritt 6.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.2.3.1

Dividiere $- 12$ durch $- 4$ .

$x = 3$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 - x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 - x < 0$

Schritt 6.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x < - 3$

Schritt 6.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x < - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Teile jeden Term in $- x < - 3$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} > \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x > 3$

Schritt 6.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \geq 3$

$[3, \infty)$

$x \geq 3$

$[3, \infty)$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 2, 3$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{21 ((2) - 4)}{4 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $2$ aus $21 ((2) - 4)$ heraus.

$\frac{2 (21 (1 - 2))}{4 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (21 (1 - 2))}{2 (2 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (21 (1 - 2))}{2 (2 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{21 (1 - 2)}{2 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{21 \cdot - 1}{2 {(3 - (2))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{21 \cdot - 1}{2 {(3 - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.4.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{21 \cdot - 1}{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{21 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $21$ mit $- 1$ .

$\frac{- 21}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{- 21}{2}$

Schritt 9.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{21}{2}$

Schritt 10

$x = 2$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 7 (2) \sqrt{3 - (2)}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f (2) = 14 \sqrt{3 - (2)}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2) = 14 \sqrt{3 - 2}$

Schritt 11.2.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f (2) = 14 \sqrt{1}$

Schritt 11.2.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (2) = 14 \cdot 1$

Schritt 11.2.5

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$f (2) = 14$

Schritt 11.2.6

Die endgültige Lösung ist $14$ .

$y = 14$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 3$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 {(3 - (3))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 {(3 - 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.1.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot 0^{3}}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{21 ((3) - 4)}{4 \cdot 0}$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{21 ((3) - 4)}{0}$

Schritt 13.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{21 ((3) - 4)}{0}$

Schritt 13.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 15