Analysis Beispiele

$f (x) = 8 \cos^{2} (x) - 16 \sin (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 \cos^{2} (x) - 16 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 \cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$8 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Schritt 1.2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$8 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$8 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$- 16 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 16 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 16 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 16 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 \cos (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Schritt 2.2.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Schritt 2.2.5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Schritt 2.2.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Schritt 2.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 16 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Schritt 2.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Schritt 2.2.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Schritt 2.2.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Schritt 2.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Schritt 2.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 16 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 16 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 16 (- \sin (x))$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 16 \sin (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 16 \cos^{2} (x) - 16 (- \sin^{2} (x)) + 16 \sin (x)$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = - 16 \cos^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) + 16 \sin (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x) = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $16 \cos (x)$ aus $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $16 \cos (x)$ aus $- 16 \cos (x) \sin (x)$ heraus.

$16 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 16 \cos (x) = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $16 \cos (x)$ aus $- 16 \cos (x)$ heraus.

$16 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 16 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $16 \cos (x)$ aus $16 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 16 \cos (x) \cdot - 1$ heraus.

$16 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

Schritt 4.2

Schreibe $- 1 \sin (x)$ als $- \sin (x)$ um.

$16 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 6

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 6.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 6.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 6.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.2.5

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 7

Setze $- \sin (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $- \sin (x) - 1$ gleich $0$ .

$- \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $- \sin (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x) = 1$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 7.2.2.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Schritt 7.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 7.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 7.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.2.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 7.2.6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 7.2.7

Die Lösung der Gleichung $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $16 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 16 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- 16 \cdot 0^{2} + 16 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 16 \cdot 0 + 16 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$0 + 16 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 + 16 \cdot 1^{2} + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 + 16 \cdot 1 + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.6

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$0 + 16 + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 + 16 + 16 \cdot 1$

Schritt 10.1.8

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$0 + 16 + 16$

Schritt 10.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 10.2.1

Addiere $0$ und $16$ .

$16 + 16$

Schritt 10.2.2

Addiere $16$ und $16$ .

$32$

Schritt 11

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 8 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 16 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 8 \cdot 0^{2} - 16 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 12.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 8 \cdot 0 - 16 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 12.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 16 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 12.2.1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 16 \cdot 1$

Schritt 12.2.1.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 16$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 16$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 16$ .

$y = - 16$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 16 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 16 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- 16 \cdot 0^{2} + 16 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 16 \cdot 0 + 16 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$0 + 16 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$0 + 16 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 + 16 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 + 16 {(- 1)}^{2} + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$0 + 16 \cdot 1 + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.9

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$0 + 16 + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.10

$0 + 16 + 16 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 14.1.11

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 + 16 + 16 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 14.1.12

Multipliziere $16 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 14.1.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 + 16 + 16 \cdot - 1$

Schritt 14.1.12.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$0 + 16 - 16$

Schritt 14.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 14.2.1

Addiere $0$ und $16$ .

$16 - 16$

Schritt 14.2.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$0$

Schritt 15

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 15.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Schritt 15.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{π}{2})$ in die erste Ableitung $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = - 16 \cos (- 4) \sin (- 4) - 16 \cos (- 4)$

Schritt 15.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.2.1.1

Berechne $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 16 \cdot (- 0.65364362 \sin (- 4)) - 16 \cos (- 4)$

Schritt 15.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = 10.45829793 \sin (- 4) - 16 \cos (- 4)$

Schritt 15.2.2.1.3

Berechne $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = 10.45829793 \cdot 0.75680249 - 16 \cos (- 4)$

Schritt 15.2.2.1.4

Mutltipliziere $10.45829793$ mit $0.75680249$ .

$f' (- 4) = 7.91486597 - 16 \cos (- 4)$

Schritt 15.2.2.1.5

Berechne $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = 7.91486597 - 16 \cdot - 0.65364362$

Schritt 15.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = 7.91486597 + 10.45829793$

Schritt 15.2.2.2

Addiere $7.91486597$ und $10.45829793$ .

$f' (- 4) = 18.3731639$

Schritt 15.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $18.3731639$ .

$18.3731639$

Schritt 15.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ in die erste Ableitung $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = - 16 \cos (0) \sin (0) - 16 \cos (0)$

Schritt 15.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.3.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f' (0) = - 16 \cdot (1 \sin (0)) - 16 \cos (0)$

Schritt 15.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$f' (0) = - 16 \sin (0) - 16 \cos (0)$

Schritt 15.3.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f' (0) = - 16 \cdot 0 - 16 \cos (0)$

Schritt 15.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 16 \cos (0)$

Schritt 15.3.2.1.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f' (0) = 0 - 16 \cdot 1$

Schritt 15.3.2.1.6

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$f' (0) = 0 - 16$

Schritt 15.3.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$f' (0) = - 16$

Schritt 15.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 16$ .

$- 16$

Schritt 15.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $3$ , aus dem Intervall $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ in die erste Ableitung $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = - 16 \cos (3) \sin (3) - 16 \cos (3)$

Schritt 15.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.4.2.1.1

Berechne $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 16 \cdot (- 0.98999249 \sin (3)) - 16 \cos (3)$

Schritt 15.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 15.83987994 \sin (3) - 16 \cos (3)$

Schritt 15.4.2.1.3

Berechne $\sin (3)$ .

$f' (3) = 15.83987994 \cdot 0.14112 - 16 \cos (3)$

Schritt 15.4.2.1.4

Mutltipliziere $15.83987994$ mit $0.14112$ .

$f' (3) = 2.23532398 - 16 \cos (3)$

Schritt 15.4.2.1.5

Berechne $\cos (3)$ .

$f' (3) = 2.23532398 - 16 \cdot - 0.98999249$

Schritt 15.4.2.1.6

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 2.23532398 + 15.83987994$

Schritt 15.4.2.2

Addiere $2.23532398$ und $15.83987994$ .

$f' (3) = 18.07520393$

Schritt 15.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $18.07520393$ .

$18.07520393$

Schritt 15.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $7$ , aus dem Intervall $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ in die erste Ableitung $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = - 16 \cos (7) \sin (7) - 16 \cos (7)$

Schritt 15.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.5.2.1.1

Berechne $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 16 \cdot (0.75390225 \sin (7)) - 16 \cos (7)$

Schritt 15.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $0.75390225$ .

$f' (7) = - 12.06243606 \sin (7) - 16 \cos (7)$

Schritt 15.5.2.1.3

Berechne $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 12.06243606 \cdot 0.65698659 - 16 \cos (7)$

Schritt 15.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 12.06243606$ mit $0.65698659$ .

$f' (7) = - 7.92485884 - 16 \cos (7)$

Schritt 15.5.2.1.5

Berechne $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 7.92485884 - 16 \cdot 0.75390225$

Schritt 15.5.2.1.6

Mutltipliziere $- 16$ mit $0.75390225$ .

$f' (7) = - 7.92485884 - 12.06243606$

Schritt 15.5.2.2

Subtrahiere $12.06243606$ von $- 7.92485884$ .

$f' (7) = - 19.98729491$

Schritt 15.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 19.98729491$ .

$- 19.98729491$

Schritt 15.6

Da die erste Ableitung um $x = - \frac{π}{2}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = - \frac{π}{2}$ ein lokales Maximum.

$x = - \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15.7

Da die erste Ableitung um $x = \frac{π}{2}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = \frac{π}{2}$ ein lokales Minimum.

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15.8

Da die erste Ableitung um $x = \frac{3 π}{2}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = \frac{3 π}{2}$ ein lokales Maximum.

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 8 \cos^{2} (x) - 16 \sin (x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Maximum

$x = - \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16