Analysis Beispiele

$f (x) = 64 x^{3} - 12 x + 8$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $64 x^{3} - 12 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [64 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64 x^{3}$ nach $x$ gleich $64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$192 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$192 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$192 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$192 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$192 x^{2} - 12 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $192 x^{2} - 12$ und $0$ .

$192 x^{2} - 12$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $192 x^{2} - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [192 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (192 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [192 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $192$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $192 x^{2}$ nach $x$ gleich $192 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 192 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $192$ .

$f'' (x) = 384 x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 384 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $384 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 384 x$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$192 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $64 x^{3} - 12 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [64 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64 x^{3}$ nach $x$ gleich $64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 64 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$f' (x) = 192 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $192 x^{2} - 12$ und $0$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $192 x^{2} - 12$ .

$192 x^{2} - 12$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $192 x^{2} - 12 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$192 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$192 x^{2} = 12$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $192 x^{2} = 12$ durch $192$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $192 x^{2} = 12$ durch $192$ .

$\frac{192 x^{2}}{192} = \frac{12}{192}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $192$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{192 x^{2}}{192} = \frac{12}{192}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{192}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $192$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12$ heraus.

$x^{2} = \frac{12 (1)}{192}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $12$ aus $192$ heraus.

$x^{2} = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 16}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 16}$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{1}{16}$

Schritt 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{16}}$

Schritt 5.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{16}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{16}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

Schritt 5.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{16}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 5.5.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{4}$

Schritt 5.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 5.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 5.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$384 (\frac{1}{4})$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Faktorisiere $4$ aus $384$ heraus.

$4 (96) \frac{1}{4}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 96 \frac{1}{4}$

Schritt 9.3

Forme den Ausdruck um.

$96$

Schritt 10

$x = \frac{1}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 64 {(\frac{1}{4})}^{3} - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1^{3}}{4^{3}}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 11.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{4^{3}}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 11.2.1.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{64}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 11.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{64}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 11.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{4}) = 1 - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 11.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$f (\frac{1}{4}) = 1 + 4 (- 3) (\frac{1}{4}) + 8$

Schritt 11.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{4}) = 1 + 4 \cdot (- 3 (\frac{1}{4})) + 8$

Schritt 11.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{4}) = 1 - 3 + 8$

Schritt 11.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 2 + 8$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $- 2$ und $8$ .

$f (\frac{1}{4}) = 6$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$y = 6$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{1}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$384 (- \frac{1}{4})$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$384 (\frac{- 1}{4})$

Schritt 13.1.2

Faktorisiere $4$ aus $384$ heraus.

$4 (96) \frac{- 1}{4}$

Schritt 13.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 96 \frac{- 1}{4}$

Schritt 13.1.4

Forme den Ausdruck um.

$96 \cdot - 1$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $96$ mit $- 1$ .

$- 96$

Schritt 14

$x = - \frac{1}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{1}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 {(- \frac{1}{4})}^{3} - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Schritt 15.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{4^{3}})) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Schritt 15.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Schritt 15.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1}{4^{3}}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Schritt 15.2.1.4

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Schritt 15.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{64}$ in den Zähler.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (\frac{- 1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Schritt 15.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (\frac{- 1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Schritt 15.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Schritt 15.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 12 (\frac{- 1}{4}) + 8$

Schritt 15.2.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 4 (- 3) (\frac{- 1}{4}) + 8$

Schritt 15.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 4 \cdot (- 3 (\frac{- 1}{4})) + 8$

Schritt 15.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 3 \cdot - 1 + 8$

Schritt 15.2.1.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 3 + 8$

Schritt 15.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.1

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 2 + 8$

Schritt 15.2.2.2

Addiere $2$ und $8$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10$

Schritt 15.2.3

Die endgültige Lösung ist $10$ .

$y = 10$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 64 x^{3} - 12 x + 8$ .

$(\frac{1}{4}, 6)$ ist ein lokales Minimum

$(- \frac{1}{4}, 10)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17