Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + \cos (2 x + 1)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 1$ .

$5 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$5 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 + 0)$

Schritt 1.3.7

Addiere $2$ und $0$ .

$5 - \sin (2 x + 1) \cdot 2$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 - 2 \sin (2 x + 1)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 2 \sin (2 x + 1)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

Schritt 2.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (2 x + 1)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x + 1)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Schritt 2.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))$

Schritt 2.2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 + 0))$

Schritt 2.2.8

Addiere $2$ und $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \cdot 2)$

Schritt 2.2.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x + 1))$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x + 1)$

Schritt 2.3

Subtrahiere $4 \cos (2 x + 1)$ von $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x + 1)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$5 - 2 \sin (2 x + 1) = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ durch $- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\sin (2 x + 1)$ durch $1$ .

$\sin (2 x + 1) = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (2 x + 1) = \frac{5}{2}$

Schritt 6

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $\frac{5}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 7

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x =$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 4 \cos (2 + 1)$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Addiere $2$ und $1$ .

$- 4 \cos (3)$

Schritt 8.2

Berechne $\cos (3)$ .

$- 4 \cdot 0.99862953$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $0.99862953$ .

$- 3.99451813$

Schritt 9

$x =$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x =$ ist ein lokales Maximum

Schritt 10

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m a x i m u m))$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11