Analysis Beispiele

$f (x) = 5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$5 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$5 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$5 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$- 10 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$ und $0$ .

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = - 10 (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Schritt 2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Schritt 2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 10 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 24$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) + 48 \sin (2 x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (2 x)$ .

$\frac{- 10 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Schritt 5

Separiere Brüche.

$\frac{- 10}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Schritt 6

Wandle von $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ nach $\tan (2 x)$ um.

$\frac{- 10}{1} \cdot \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Schritt 7

Dividiere $- 10$ durch $1$ .

$- 10 \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 10 \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Schritt 8.2

Dividiere $- 24$ durch $1$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Schritt 9

Separiere Brüche.

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 10

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{1} \cdot \sec (2 x)$

Schritt 11

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = 0 \sec (2 x)$

Schritt 12

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (2 x)$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = 0$

Schritt 13

Addiere $24$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 \tan (2 x) = 24$

Schritt 14

Teile jeden Ausdruck in $- 10 \tan (2 x) = 24$ durch $- 10$ und vereinfache.

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Schritt 14.1

Teile jeden Ausdruck in $- 10 \tan (2 x) = 24$ durch $- 10$ .

$\frac{- 10 \tan (2 x)}{- 10} = \frac{24}{- 10}$

Schritt 14.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 10$ .

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Schritt 14.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 10 \tan (2 x)}{- 10} = \frac{24}{- 10}$

Schritt 14.2.1.2

Dividiere $\tan (2 x)$ durch $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{24}{- 10}$

Schritt 14.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $- 10$ .

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Schritt 14.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$\tan (2 x) = \frac{2 (12)}{- 10}$

Schritt 14.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\tan (2 x) = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 5}$

Schritt 14.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (2 x) = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 5}$

Schritt 14.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\tan (2 x) = \frac{12}{- 5}$

Schritt 14.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (2 x) = - \frac{12}{5}$

Schritt 15

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$2 x = \arctan (- \frac{12}{5})$

Schritt 16

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 16.1

Berechne $\arctan (- \frac{12}{5})$ .

$2 x = - 1.1760052$

Schritt 17

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1.1760052$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 17.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1.1760052$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1.1760052}{2}$

Schritt 17.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 17.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1.1760052}{2}$

Schritt 17.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1.1760052}{2}$

Schritt 17.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 17.3.1

Dividiere $- 1.1760052$ durch $2$ .

$x = - 0.5880026$

Schritt 18

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = - 1.1760052 - (3.14159265)$

Schritt 19

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 19.1

Addiere $2 π$ zu $- 1.1760052 - (3.14159265)$ .

$2 x = - 1.1760052 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 19.2

Der resultierende Winkel von $1.96558744$ ist positiv und gleich $- 1.1760052 - (3.14159265)$ .

$2 x = 1.96558744$

Schritt 19.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1.96558744$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 19.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1.96558744$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.96558744}{2}$

Schritt 19.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 19.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.96558744}{2}$

Schritt 19.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1.96558744}{2}$

Schritt 19.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 19.3.3.1

Dividiere $1.96558744$ durch $2$ .

$x = 0.98279372$

Schritt 20

Die Lösung der Gleichung $2 x = - 1.1760052$ .

$x = - 0.5880026, 0.98279372$

Schritt 21

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 0.5880026$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 20 \cos (2 (- 0.5880026)) + 48 \sin (2 (- 0.5880026))$

Schritt 22

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 22.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.5880026$ .

$- 20 \cos (- 1.1760052) + 48 \sin (2 (- 0.5880026))$

Schritt 22.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.5880026$ .

$- 20 \cos (- 1.1760052) + 48 \sin (- 1.1760052)$

Schritt 23

$x = - 0.5880026$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 0.5880026$ ist ein lokales Maximum

Schritt 24

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 0.5880026$ .

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Schritt 24.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.5880026$ .

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (2 (- 0.5880026)) - 12 \sin (2 (- 0.5880026)) + 3$

Schritt 24.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 24.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 24.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.5880026$ .

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (2 (- 0.5880026)) + 3$

Schritt 24.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.5880026$ .

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$

Schritt 24.2.2

Die endgültige Lösung ist $5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$ .

$y = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$

Schritt 25

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0.98279372$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 20 \cos (2 (0.98279372)) + 48 \sin (2 (0.98279372))$

Schritt 26

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 26.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.98279372$ .

$- 20 \cos (1.96558744) + 48 \sin (2 (0.98279372))$

Schritt 26.2

Mutltipliziere $2$ mit $0.98279372$ .

$- 20 \cos (1.96558744) + 48 \sin (1.96558744)$

Schritt 27

$x = 0.98279372$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0.98279372$ ist ein lokales Minimum

Schritt 28

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0.98279372$ .

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Schritt 28.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.98279372$ .

$f (0.98279372) = 5 \cos (2 (0.98279372)) - 12 \sin (2 (0.98279372)) + 3$

Schritt 28.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 28.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 28.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.98279372$ .

$f (0.98279372) = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (2 (0.98279372)) + 3$

Schritt 28.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0.98279372$ .

$f (0.98279372) = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$

Schritt 28.2.2

Die endgültige Lösung ist $5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$ .

$y = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$

Schritt 29

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$ .

$(- 0.5880026, 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3)$ ist ein lokales Maximum

$(0.98279372, 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 30