Analysis Beispiele

Finde die lokalen Maxima und Minima f(x)=5-(6+5x)^(2/5)
Schritt 1
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.2.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.2.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.6
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.7
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.2.8
Kombiniere und .
Schritt 1.2.9
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.2.10
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.10.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.10.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.2.11
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.2.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.13
Addiere und .
Schritt 1.2.14
Kombiniere und .
Schritt 1.2.15
Kombiniere und .
Schritt 1.2.16
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.17
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.2.18
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.19
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.19.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.19.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.19.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.3
Subtrahiere von .
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.1.2
Wende die grundlegenden Potenzregeln an.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1
Schreibe als um.
Schritt 2.1.2.2
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.2.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.1.2.2.2
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.2.2.1
Kombiniere und .
Schritt 2.1.2.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.2.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.4
Kombiniere und .
Schritt 2.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.6
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.7
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.7.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.7.2
Kombiniere und .
Schritt 2.7.3
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.7.3.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.7.3.2
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 2.7.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.7.4
Kombiniere und .
Schritt 2.7.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.8
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.9
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.10
Addiere und .
Schritt 2.11
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.12
Vereinfache Terme.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.12.1
Kombiniere und .
Schritt 2.12.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.12.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.13
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.13.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.13.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.13.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.14
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.15
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.15.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.15.2
Stelle die Terme um.
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 4.1.2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 4.1.2.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.2.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.2.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2.6
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.7
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.1.2.8
Kombiniere und .
Schritt 4.1.2.9
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.1.2.10
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.10.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.10.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.2.11
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.1.2.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.13
Addiere und .
Schritt 4.1.2.14
Kombiniere und .
Schritt 4.1.2.15
Kombiniere und .
Schritt 4.1.2.16
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.17
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 4.1.2.18
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.2.19
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.19.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.2.19.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.1.2.19.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 5.3
Da , gibt es keine Lösungen.
Keine Lösung
Keine Lösung
Schritt 6
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 6.2
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 6.3
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.1
Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur . Potenz.
Schritt 6.3.2
Vereinfache jede Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 6.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.2.1
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.2.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 6.3.2.2.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.2.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.3.2.2.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 6.3.3
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.1
Setze gleich .
Schritt 6.3.3.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 6.3.3.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 6.3.3.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.3.3.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 6.3.3.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 9.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.1.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 9.2
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.1
Addiere und .
Schritt 9.2.2
Schreibe als um.
Schritt 9.2.3
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 9.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 9.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 9.5
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Undefiniert
Schritt 10
Da es mindestens einen Punkt mit oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.1
Teile in separate Intervalle um die -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu oder nicht definiert machen.
Schritt 10.2
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.2.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 10.2.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.2.2.1
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.2.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.2.2.1.2
Subtrahiere von .
Schritt 10.2.2.2
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 10.3
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.3.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 10.3.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.3.2.1
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.3.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.3.2.1.2
Addiere und .
Schritt 10.3.2.2
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 10.4
Da die erste Ableitung um herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist ein lokales Maximum.
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Maximum
Schritt 11