Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x \ln (x) - 7 x$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x \ln (x) - 7 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x \ln (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 1 + 4 \ln (x) - 7$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + 4 \ln (x) - 7$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $7$ von $4$ .

$4 \ln (x) - 3$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \ln (x) - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \ln (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x} + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x} + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{4}{x}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 \ln (x) - 3 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x \ln (x) - 7 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x \ln (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 4.1.2.2

$4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 4.1.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 4.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 4.1.2.5

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 4.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 4.1.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 4.1.2.7

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 1 + 4 \ln (x) - 7$

Schritt 4.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + 4 \ln (x) - 7$

Schritt 4.1.4.2.2

Subtrahiere $7$ von $4$ .

$f' (x) = 4 \ln (x) - 3$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 \ln (x) - 3$ .

$4 \ln (x) - 3$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 \ln (x) - 3 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 \ln (x) - 3 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \ln (x) = 3$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $4 \ln (x) = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \ln (x) = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 \ln (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \ln (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{3}{4}$

Schritt 5.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.5

Schreibe $\ln (x) = \frac{3}{4}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{3}{4}} = x$

Schritt 5.6

Schreibe die Gleichung als $x = e^{\frac{3}{4}}$ um.

$x = e^{\frac{3}{4}}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 6.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = e^{\frac{3}{4}}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = e^{\frac{3}{4}}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4}{e^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 9

$x = e^{\frac{3}{4}}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = e^{\frac{3}{4}}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 10

Ermittele den y-Wert, wenn $x = e^{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 (e^{\frac{3}{4}}) \ln (e^{\frac{3}{4}}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\frac{3}{4}$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4} \cdot \ln (e)) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Schritt 10.2.1.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4} \cdot 1) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Schritt 10.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Schritt 10.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{\frac{3}{4}}$ heraus.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 (e^{\frac{3}{4}}) (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Schritt 10.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Schritt 10.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = e^{\frac{3}{4}} \cdot 3 - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Schritt 10.2.1.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 3 e^{\frac{3}{4}} - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $7 e^{\frac{3}{4}}$ von $3 e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = - 4 e^{\frac{3}{4}}$

Schritt 10.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4 e^{\frac{3}{4}}$ .

$y = - 4 e^{\frac{3}{4}}$

Schritt 11

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 4 x \ln (x) - 7 x$ .

$(e^{\frac{3}{4}}, - 4 e^{\frac{3}{4}})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12