Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} {(x - 24)}^{2}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe ${(x - 24)}^{2}$ als $(x - 24) (x - 24)$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 24) (x - 24))]$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 24) (x - 24)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 24) - 24 (x - 24))]$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 (x - 24))]$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 24$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 \cdot x - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 24$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x - 24 x + 576)]$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $24 x$ von $- 24 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 48 x + 576)]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x^{2} - 48 x + 576$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 48 x + 576] + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.5

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 48 x + 576$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.5.3

Da $- 48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 48 x$ nach $x$ gleich $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.5.5

Mutltipliziere $- 48$ mit $1$ .

$x^{4} (2 x - 48 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.5.6

Da $576$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $576$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{4} (2 x - 48 + 0) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.5.7

Addiere $2 x - 48$ und $0$ .

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) (4 x^{3})$

Schritt 1.5.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2} - 48 x + 576$ .

$x^{4} (2 x - 48) + 4 \cdot (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + (4 x^{2} + 4 (- 48 x) + 4 \cdot 576) x^{3}$

Schritt 1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 1.6.4

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.4.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.4.1.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 1.6.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 1.6.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 1.6.4.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 1.6.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 1.6.4.3

Bringe $- 48$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 48 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 1.6.4.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.4.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 1.6.4.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 1.6.4.4.3

Addiere $3$ und $2$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 1.6.4.5

Mutltipliziere $- 48$ mit $4$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 1.6.4.6

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.4.6.1

Bewege $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x) + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 1.6.4.6.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.4.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 1.6.4.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{3 + 1} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 1.6.4.6.3

Addiere $3$ und $1$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 1.6.4.7

Mutltipliziere $4$ mit $576$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

Schritt 1.6.4.8

Addiere $2 x^{5}$ und $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 48 x^{4} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

Schritt 1.6.4.9

Subtrahiere $192 x^{4}$ von $- 48 x^{4}$ .

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2304 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{5}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 240 x^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 240$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 240 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 240 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 240 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 240 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 240$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2304 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $2304$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2304 x^{3}$ nach $x$ gleich $2304 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + 2304 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + 2304 (3 x^{2})$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $2304$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + 6912 x^{2}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Schreibe ${(x - 24)}^{2}$ als $(x - 24) (x - 24)$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 24) (x - 24))]$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $(x - 24) (x - 24)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 24) - 24 (x - 24))]$

Schritt 4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 (x - 24))]$

Schritt 4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Schritt 4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Schritt 4.1.3.1.2

Bringe $- 24$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 \cdot x - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Schritt 4.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 24$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x - 24 x + 576)]$

Schritt 4.1.3.2

Subtrahiere $24 x$ von $- 24 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 48 x + 576)]$

Schritt 4.1.4

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 48 x + 576] + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.1.5

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 48 x + 576$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.1.5.3

Da $- 48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 48 x$ nach $x$ gleich $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.1.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.1.5.5

Mutltipliziere $- 48$ mit $1$ .

$x^{4} (2 x - 48 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.1.5.6

Da $576$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $576$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{4} (2 x - 48 + 0) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.1.5.7

Addiere $2 x - 48$ und $0$ .

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.1.5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) (4 x^{3})$

Schritt 4.1.5.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2} - 48 x + 576$ .

$x^{4} (2 x - 48) + 4 \cdot (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

Schritt 4.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + (4 x^{2} + 4 (- 48 x) + 4 \cdot 576) x^{3}$

Schritt 4.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.4.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.4.1.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4.3

Bringe $- 48$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 48 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.4.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4.4.3

Addiere $3$ und $2$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4.5

Mutltipliziere $- 48$ mit $4$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4.6

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.4.6.1

Bewege $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x) + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4.6.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.4.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{3 + 1} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4.6.3

Addiere $3$ und $1$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4.7

Mutltipliziere $4$ mit $576$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4.8

Addiere $2 x^{5}$ und $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 48 x^{4} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

Schritt 4.1.6.4.9

Subtrahiere $192 x^{4}$ von $- 48 x^{4}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Faktorisiere $6 x^{3}$ aus $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $6 x^{3}$ aus $6 x^{5}$ heraus.

$6 x^{3} (x^{2}) - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $6 x^{3}$ aus $- 240 x^{4}$ heraus.

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 40 x) + 2304 x^{3} = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $6 x^{3}$ aus $2304 x^{3}$ heraus.

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 40 x) + 6 x^{3} (384) = 0$

Schritt 5.2.1.4

Faktorisiere $6 x^{3}$ aus $6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 40 x)$ heraus.

$6 x^{3} (x^{2} - 40 x) + 6 x^{3} (384) = 0$

Schritt 5.2.1.5

Faktorisiere $6 x^{3}$ aus $6 x^{3} (x^{2} - 40 x) + 6 x^{3} (384)$ heraus.

$6 x^{3} (x^{2} - 40 x + 384) = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 40 x + 384$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $384$ und deren Summe $- 40$ ist.

$- 24, - 16$

Schritt 5.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$6 x^{3} ((x - 24) (x - 16)) = 0$

Schritt 5.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 x^{3} (x - 24) (x - 16) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 24 = 0$

$x - 16 = 0$

Schritt 5.4

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 5.5

Setze $x - 24$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Setze $x - 24$ gleich $0$ .

$x - 24 = 0$

Schritt 5.5.2

Addiere $24$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 24$

Schritt 5.6

Setze $x - 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Setze $x - 16$ gleich $0$ .

$x - 16 = 0$

Schritt 5.6.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 16$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 x^{3} (x - 24) (x - 16) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 24, 16$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, 24, 16$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$30 {(0)}^{4} - 960 {(0)}^{3} + 6912 {(0)}^{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$30 \cdot 0 - 960 {(0)}^{3} + 6912 {(0)}^{2}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $30$ mit $0$ .

$0 - 960 {(0)}^{3} + 6912 {(0)}^{2}$

Schritt 9.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 960 \cdot 0 + 6912 {(0)}^{2}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $- 960$ mit $0$ .

$0 + 0 + 6912 {(0)}^{2}$

Schritt 9.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 + 6912 \cdot 0$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $6912$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0$

Schritt 9.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0$

Schritt 9.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, 16) \cup (16, 24) \cup (24, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{5} - 240 {(- 2)}^{4} + 2304 {(- 2)}^{3}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot - 32 - 240 {(- 2)}^{4} + 2304 {(- 2)}^{3}$

Schritt 10.2.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 32$ .

$f' (- 2) = - 192 - 240 {(- 2)}^{4} + 2304 {(- 2)}^{3}$

Schritt 10.2.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f' (- 2) = - 192 - 240 \cdot 16 + 2304 {(- 2)}^{3}$

Schritt 10.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 240$ mit $16$ .

$f' (- 2) = - 192 - 3840 + 2304 {(- 2)}^{3}$

Schritt 10.2.2.1.5

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f' (- 2) = - 192 - 3840 + 2304 \cdot - 8$

Schritt 10.2.2.1.6

Mutltipliziere $2304$ mit $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 - 3840 - 18432$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.2.1

Subtrahiere $3840$ von $- 192$ .

$f' (- 2) = - 4032 - 18432$

Schritt 10.2.2.2.2

Subtrahiere $18432$ von $- 4032$ .

$f' (- 2) = - 22464$

Schritt 10.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 22464$ .

$- 22464$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, 16)$ in die erste Ableitung $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 6 {(2)}^{5} - 240 {(2)}^{4} + 2304 {(2)}^{3}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.1.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f' (2) = 6 \cdot 32 - 240 {(2)}^{4} + 2304 {(2)}^{3}$

Schritt 10.3.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $32$ .

$f' (2) = 192 - 240 {(2)}^{4} + 2304 {(2)}^{3}$

Schritt 10.3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f' (2) = 192 - 240 \cdot 16 + 2304 {(2)}^{3}$

Schritt 10.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 240$ mit $16$ .

$f' (2) = 192 - 3840 + 2304 {(2)}^{3}$

Schritt 10.3.2.1.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (2) = 192 - 3840 + 2304 \cdot 8$

Schritt 10.3.2.1.6

Mutltipliziere $2304$ mit $8$ .

$f' (2) = 192 - 3840 + 18432$

Schritt 10.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.2.1

Subtrahiere $3840$ von $192$ .

$f' (2) = - 3648 + 18432$

Schritt 10.3.2.2.2

Addiere $- 3648$ und $18432$ .

$f' (2) = 14784$

Schritt 10.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $14784$ .

$14784$

Schritt 10.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $20$ , aus dem Intervall $(16, 24)$ in die erste Ableitung $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $20$ .

$f' (20) = 6 {(20)}^{5} - 240 {(20)}^{4} + 2304 {(20)}^{3}$

Schritt 10.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.2.1.1

Potenziere $20$ mit $5$ .

$f' (20) = 6 \cdot 3200000 - 240 {(20)}^{4} + 2304 {(20)}^{3}$

Schritt 10.4.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $3200000$ .

$f' (20) = 19200000 - 240 {(20)}^{4} + 2304 {(20)}^{3}$

Schritt 10.4.2.1.3

Potenziere $20$ mit $4$ .

$f' (20) = 19200000 - 240 \cdot 160000 + 2304 {(20)}^{3}$

Schritt 10.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 240$ mit $160000$ .

$f' (20) = 19200000 - 38400000 + 2304 {(20)}^{3}$

Schritt 10.4.2.1.5

Potenziere $20$ mit $3$ .

$f' (20) = 19200000 - 38400000 + 2304 \cdot 8000$

Schritt 10.4.2.1.6

Mutltipliziere $2304$ mit $8000$ .

$f' (20) = 19200000 - 38400000 + 18432000$

Schritt 10.4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.2.2.1

Subtrahiere $38400000$ von $19200000$ .

$f' (20) = - 19200000 + 18432000$

Schritt 10.4.2.2.2

Addiere $- 19200000$ und $18432000$ .

$f' (20) = - 768000$

Schritt 10.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 768000$ .

$- 768000$

Schritt 10.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $26$ , aus dem Intervall $(24, \infty)$ in die erste Ableitung $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $26$ .

$f' (26) = 6 {(26)}^{5} - 240 {(26)}^{4} + 2304 {(26)}^{3}$

Schritt 10.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.2.1.1

Potenziere $26$ mit $5$ .

$f' (26) = 6 \cdot 11881376 - 240 {(26)}^{4} + 2304 {(26)}^{3}$

Schritt 10.5.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $11881376$ .

$f' (26) = 71288256 - 240 {(26)}^{4} + 2304 {(26)}^{3}$

Schritt 10.5.2.1.3

Potenziere $26$ mit $4$ .

$f' (26) = 71288256 - 240 \cdot 456976 + 2304 {(26)}^{3}$

Schritt 10.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 240$ mit $456976$ .

$f' (26) = 71288256 - 109674240 + 2304 {(26)}^{3}$

Schritt 10.5.2.1.5

Potenziere $26$ mit $3$ .

$f' (26) = 71288256 - 109674240 + 2304 \cdot 17576$

Schritt 10.5.2.1.6

Mutltipliziere $2304$ mit $17576$ .

$f' (26) = 71288256 - 109674240 + 40495104$

Schritt 10.5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.2.2.1

Subtrahiere $109674240$ von $71288256$ .

$f' (26) = - 38385984 + 40495104$

Schritt 10.5.2.2.2

Addiere $- 38385984$ und $40495104$ .

$f' (26) = 2109120$

Schritt 10.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $2109120$ .

$2109120$

Schritt 10.6

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Minimum.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 10.7

Da die erste Ableitung um $x = 16$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 16$ ein lokales Maximum.

$x = 16$ ist ein lokales Maximum

Schritt 10.8

Da die erste Ableitung um $x = 24$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 24$ ein lokales Minimum.

$x = 24$ ist ein lokales Minimum

Schritt 10.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{4} {(x - 24)}^{2}$ .

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

$x = 16$ ist ein lokales Maximum

$x = 24$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

$x = 16$ ist ein lokales Maximum

$x = 24$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11