Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} + \frac{4}{x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + \frac{4}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$4 x^{3} + 4 (- x^{- 2})$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 x^{3} - 4 x^{- 2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$4 x^{3} + \frac{- 4}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 2.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Schritt 2.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 2.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 2.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 x^{- 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{8}{x^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + \frac{4}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x})$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x})$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 4.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 (- x^{- 2})$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{- 2}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4.1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.3.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{- 4}{x^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$ .

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2}, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ .

$4 x^{3} x^{2} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x^{3}) - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{2 + 3} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.1.3

Addiere $2$ und $3$ .

$4 x^{5} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{x^{2}}$ in den Zähler.

$4 x^{5} + \frac{- 4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{5} + \frac{- 4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{5} - 4 = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$4 x^{5} - 4 = 0$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{5} = 4$

Schritt 5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{5} = 4$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{5} = 4$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{5}}{4} = \frac{4}{4}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{5}}{4} = \frac{4}{4}$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$x^{5} = \frac{4}{4}$

Schritt 5.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.3.1

Dividiere $4$ durch $4$ .

$x^{5} = 1$

Schritt 5.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{1}$

Schritt 5.4.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = 1$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{4}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(1)}^{2} + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 \cdot 1 + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

Schritt 9.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 + \frac{8}{1}$

Schritt 9.1.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$12 + 8$

Schritt 9.2

Addiere $12$ und $8$ .

$20$

Schritt 10

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{4} + \frac{4}{1}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 + \frac{4}{1}$

Schritt 11.2.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$f (1) = 1 + 4$

Schritt 11.2.2

Addiere $1$ und $4$ .

$f (1) = 5$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$y = 5$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{4} + \frac{4}{x}$ .

$(1, 5)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13