Analysis Beispiele

$f (x) = 18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$ .

$\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 1.1.2

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 2 x + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$0 - 2 x + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $- y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 1.4.2

Da $36 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + 0$

Schritt 1.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x + y + 0 + 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $- 2 x + y$ und $0$ .

$- 2 x + y + 0$

Schritt 1.5.3

Addiere $- 2 x + y$ und $0$ .

$- 2 x + y$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (y)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (y)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (y)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (y)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$f'' (x) = - 2$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 2 x + y = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 4.1.1.2

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 2 x + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$0 - 2 x + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $- y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + \frac{d}{d x} [36 y]$

Schritt 4.1.4.2

Da $36 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + 0$

Schritt 4.1.5

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.5.1

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x + y + 0 + 0$

Schritt 4.1.5.2

Addiere $- 2 x + y$ und $0$ .

$- 2 x + y + 0$

Schritt 4.1.5.3

Addiere $- 2 x + y$ und $0$ .

$f' (x) = - 2 x + y$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 x + y$ .

$- 2 x + y$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 x + y = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 2 x + y = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - y$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - y$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y}{- 2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y}{- 2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y}{- 2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{y}{2}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{y}{2}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{y}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2$

Schritt 9

$x = \frac{y}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{y}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 10

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{y}{2}$ .

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - {(\frac{y}{2})}^{2} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{2}$ an.

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{2^{2}} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Schritt 10.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Schritt 10.2.1.3

Multipliziere $(\frac{y}{2}) y$ .

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Schritt 10.2.1.3.1

Kombiniere $\frac{y}{2}$ und $y$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Schritt 10.2.1.3.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Schritt 10.2.1.3.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Schritt 10.2.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{1 + 1}}{2} - y^{2} + 36 y$

Schritt 10.2.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} - y^{2} + 36 y$

Schritt 10.2.2

Um $\frac{y^{2}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - y^{2} + 36 y$

Schritt 10.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - y^{2} + 36 y$

Schritt 10.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2} \cdot 2}{4} - y^{2} + 36 y$

Schritt 10.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{- y^{2} + y^{2} \cdot 2}{4} - y^{2} + 36 y$

Schritt 10.2.5

Addiere $- y^{2}$ und $y^{2} \cdot 2$ .

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Schritt 10.2.5.1

Stelle $y^{2}$ und $2$ um.

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{- y^{2} + 2 \cdot y^{2}}{4} - y^{2} + 36 y$

Schritt 10.2.5.2

Addiere $- y^{2}$ und $2 \cdot y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} - y^{2} + 36 y$

Schritt 10.2.6

Um $- y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} - y^{2} \cdot \frac{4}{4} + 36 y$

Schritt 10.2.7

Kombiniere $- y^{2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} + \frac{- y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Schritt 10.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Schritt 10.2.9

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 10.2.9.1

Schreibe $18$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18}{1} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Schritt 10.2.9.2

Mutltipliziere $\frac{18}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Schritt 10.2.9.3

Mutltipliziere $\frac{18}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Schritt 10.2.9.4

Schreibe $36 y$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y}{1}$

Schritt 10.2.9.5

Mutltipliziere $\frac{36 y}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 10.2.9.6

Mutltipliziere $\frac{36 y}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y \cdot 4}{4}$

Schritt 10.2.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.2.10.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4 + y^{2} - y^{2} \cdot 4 + 36 y \cdot 4}{4}$

Schritt 10.2.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.10.2.1

Mutltipliziere $18$ mit $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - y^{2} \cdot 4 + 36 y \cdot 4}{4}$

Schritt 10.2.10.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - 4 y^{2} + 36 y \cdot 4}{4}$

Schritt 10.2.10.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $36$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - 4 y^{2} + 144 y}{4}$

Schritt 10.2.10.3

Subtrahiere $4 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 - 3 y^{2} + 144 y}{4}$

Schritt 10.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.11.1

Faktorisiere $3$ aus $72 - 3 y^{2} + 144 y$ heraus.

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Schritt 10.2.11.1.1

Faktorisiere $3$ aus $72$ heraus.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) - 3 y^{2} + 144 y}{4}$

Schritt 10.2.11.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) + 3 (- y^{2}) + 144 y}{4}$

Schritt 10.2.11.1.3

Faktorisiere $3$ aus $144 y$ heraus.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) + 3 (- y^{2}) + 3 (48 y)}{4}$

Schritt 10.2.11.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (24) + 3 (- y^{2})$ heraus.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24 - y^{2}) + 3 (48 y)}{4}$

Schritt 10.2.11.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (24 - y^{2}) + 3 (48 y)$ heraus.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24 - y^{2} + 48 y)}{4}$

Schritt 10.2.11.2

Stelle die Terme um.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- y^{2} + 48 y + 24)}{4}$

Schritt 10.2.12

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 10.2.12.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2}$ heraus.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2}) + 48 y + 24)}{4}$

Schritt 10.2.12.2

Faktorisiere $- 1$ aus $48 y$ heraus.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2}) - (- 48 y) + 24)}{4}$

Schritt 10.2.12.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2}) - (- 48 y)$ heraus.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y) + 24)}{4}$

Schritt 10.2.12.4

Schreibe $24$ als $- 1 (- 24)$ um.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y) - 1 \cdot - 24)}{4}$

Schritt 10.2.12.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2} - 48 y) - 1 (- 24)$ heraus.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y - 24))}{4}$

Schritt 10.2.12.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.12.6.1

Schreibe $- (y^{2} - 48 y - 24)$ als $- 1 (y^{2} - 48 y - 24)$ um.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- 1 (y^{2} - 48 y - 24))}{4}$

Schritt 10.2.12.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{y}{2}) = - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$

Schritt 10.2.13

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$ .

$y = - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$

Schritt 11

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$ .

$(\frac{y}{2}, - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12